1642年4月2日，天主教神父里乔利（Giovanni Battista Riccioli）和九位同伴在他制作的一个悬摆（pendulum）前坐下。那是一个上端固定、下端挂有重物的简单装置，可以有节奏地来回摆动。正午时分，里乔利将摆启动，众人聚精会神地计数。及至次日正午，他们数得摆一共摆动了87998次。
里乔利怅然若失。这是他尝试的第二个摆，还是没能做到每秒钟摆动一次。从正午到正午，24小时的一天应为86400秒。这个摆多摆了一千多次。
一个多月后，里乔利改进后的第三个摆一昼夜间超额摆动599次，偏差减小一半多。他没有满足，在五月底又准备好第四个摆。纵使对枯燥时日安之若素的苦行僧们也失去耐心，只剩下两位最忠实的朋友还相陪着。为减轻辛劳，里乔利改用以夜晚恒星位置为参照。“角宿一”（Spica）和“大角星”（Arcturus）1相继升至头顶的时间相差3192秒。里乔利的第四个摆在三个夜晚的计数中分别摆动3212、3212、3214次，只比第三个摆略有进步。
终究，里乔利的摆接近每两分钟内快一秒。
2026年10月1日，以色列沃尔夫基金会（Wolf Foundation）宣布美国国家标准与技术研究院（National Institute of Standards and Technology）物理学家、科罗拉多大学（University of Colorado）教授叶军（Jun Ye）和德国物理学家布洛赫（Immanuel F. Bloch）分享该年度沃尔夫物理学奖（Wolf Prize in Physics）。59岁、出生于中国的叶军因在“原子钟”（atomic clock）领域的突出贡献赢得殊荣。两年前，叶军研制的“光晶格钟”（optical lattice clock）每150亿年才会出现一秒差错。
相隔380多年，人类的时间计量技术和精确度展现天壤之别。
里乔利调试摆的1642年年初，77岁的伽利略（Galileo Galilei）在意大利的佛罗伦萨离世。
青年伽利略在比萨（Pisa）的斜塔上掷下两个重量不同的球，以它们的同时落地证明古希腊先哲亚里士多德（Aristotle）谬误的故事脍炙人口，却只是一个没根没据的美丽传奇。真实的伽利略利用斜面减慢球体“下落”速度，又以自己擅长的音乐节拍为参照测量球体在相同时间间隔内走过的不同距离，归纳出运动学规律。这一成就远比臆造的哗众取宠深刻，被认作人类系统、定量科学实验的开端。那是没有钟表的时代。伽利略的巧妙设计成功避开运动测量中的最大障碍。2
里乔利比伽利略年轻34岁。他居住在意大利北部，从未能与声名显赫的前辈谋面。身为神父，里乔利也对伽利略被教会审判、定罪的思想耳熟能详。他不相信伽利略鼓吹的哥白尼（Nicolaus Copernicus）太阳为宇宙中心、地球绕太阳运转之“日心说”（heliocentrism），也对伽利略的运动学成果半信半疑。伽利略在传世之作《关于两大世界体系的对话》3里阐述运动学定律时举例：一个100“罗马磅”（Roman pound）——约30多千克——的铁球从100“臂长”（braccio）——接近60米——高处落下用时5秒。他没有也不可能做这个测量。里乔利直觉铁球落地不需要那么长时间，意图以切实的证据揭露伽利略的荒唐。与伽利略生前身后的众多反对者截然不同，里乔利遵循的正是伽利略首倡的科学方法。他也因此亟需一个能以秒为单位测量时间的利器。
人类最早的计时工具浑然天成，也远在天边。月亮的圆缺、太阳的朝升暮降亘古如一，乃现成的“月”和“日”时间单位。更细致地，人们制作形形色色的“晷针”（gnomon）和“日晷”（sundial）追随太阳行踪，将“日”等分为12或24的“时辰”和“小时”。在中国，白天太阳升至最高点是“午”时。与之相对的“子”时为不见天日的深夜。日晷上，子时与午时构成贯穿南北方向的“子午线”（meridian），即同一“经度”（longitude）的“经线”。4
延续日晷的圆形刻度，小时也等分成60“分钟”（minute），每分钟60“秒”（second）。这两个名称分别来自拉丁语的“小部分”（pars minuta prima）和“第二小部分”（pars minuta secunda）。以此类推还有“第三”“第四”……等更小部分。这些时间单位历史悠久，但迟至伽利略、里乔利所在的文艺复兴后期还只是无聊的数学游戏。农业社会的民众习惯以诸如“日上三竿”“一袋烟工夫”形象语言表述时间。追究时辰之下的分和秒已是矫揉造作。
“一袋烟”是基于人间的时间计量，乌云蔽日时仍行之有效。类似能大体保持同一速度的自然或人为现象均可度量时间。比烟叶损耗更正规的是以水或沙流动为媒介的“水钟”（water clock）和“沙漏”（hourglass），后者直到今天还常有用武之地。也是出于伽利略的细心，悬摆在十七世纪进入这个行列。
相传伽利略19岁时在比萨大教堂里留意到豪华吊灯随风摆动，用自己的脉搏和打节拍确认吊灯每个来回的时间恒定，不随摆动高低变化。悬摆因而是一个可靠的计时工具。这个故事的时间地点细节也有着明显漏洞，但至少接近实情。5伽利略确曾对摆动青眼有加。他在斜面实验里用摆作为时间间隔的辅助参照，直至晚年还在与儿子一起设计以摆为原理的时钟。
水钟、沙漏或悬摆没有小时、分钟或秒，用它们观测时间间隔需要根据太阳的运行校准。为此，里乔利和他的教父朋友们不分昼夜地计数悬摆几万次的摆动。虽然结果不如预期，里乔利的摆计时误差也已小于百分之一。他进而为伽利略所未能，成为实际测量落体运动的第一人，也第一个测定地球的”重力加速度”（gravitational acceleration）数值。里乔利不仅愕然发觉重球落地的时间与伽利略的估算相差无几，还看到数据与伽利略的运动学规律完美契合。
1651年，里乔利出版《新大全》6，以洋洋洒洒1500页篇幅记叙自己对伽利略运动学的实验证明和平生所得。在描述月球表面地理特征时，他刻意将一个显著的陨石坑以伽利略命名，纪念这位第一个指出月球表面坑坑洼洼的先知。7哥白尼、开普勒（Johannes Kepler）等宣扬日心说的天文学家也共享荣光。伽利略去世尚不足十年，日心说仍为教会禁区。
《新大全》得以问世，也拜它批驳日心说的面目所赐。里乔利在卷首图里展示伽利略在望远镜里看到的水星（Mercury）、金星（Venus）盈亏和木星（Jupiter）卫星等天象，8也醒目地借用天平隐喻哥白尼、伽利略的日心说不敌天文学家第谷（Tycho Brahe）9提出、曾让伽利略大费周折的“折中版”地心说（geocentrism）10。源自古希腊托勒密（Ptolemy）的经典地心说模型则被他悄无声息地遗弃于天平使者脚下。
五年后，荷兰学者惠更斯（Christiaan Huygens）发明第一个实用的“摆钟”（pendulum clock），完成伽利略、里乔利未竟之愿。从那时起，时钟有节奏的“滴答”“滴答”声不绝于耳，取代如梭的日月星辰为时光流逝之象征。“秒”不复为抽象的数学概念。
与一袋烟和水钟、沙漏不同，悬摆进行的是周而复始的循环运动。摆每次来回的时间为“周期”（period），其倒数为“频率”（frequency），即每秒钟内的来回次数。伽利略通过实验获知悬摆的周期和频率不因摆动幅度改变，也与下方悬挂物的重量无关，只决定于摆的长度。里乔利的摆周期比秒短，只需略为调整摆长即可补偿。可惜这说起来容易做起来难。他的麻烦也不止于此。为借助太阳校准，摆必须连续摆动24小时以上，只能起始于相当大的幅度才不至于因空气阻力过早停歇。里乔利注意到伽利略声称的摆周期恒定只在摆动幅度很小时成立。摆幅过大时周期也相应变长。他的摆在24小时内逐渐由慢变快，校准时难上加难。
惠更斯的摆钟不是单纯的悬摆。他用滑轮和齿轮将悬摆的摆动转换为时针和分针在表盘里的转动，让人一目了然地读出小时和分的流淌。一个徐徐下落的铁块为悬摆提供额外的动力，助其克服空气和附加机械的阻力。悬摆因而可以长时间地以很小幅度往复摆动，维系一致的滴答滴答节奏。摆杆上悬挂物的位置方便地上下调节，改变摆的有效长度使该节奏与一秒钟重合。最让里乔利钦服的是新摆钟的校准：使用者只须在某日正午将摆钟设定，次日正午再查看其读数。他日以继夜目不转睛计数每一次摆动的奉献已是过眼云烟。
悬摆当然不是绝无仅有的循环运动。1676年时，比惠更斯略为年轻的英国人虎克（Robert Hooke）发表描述弹簧被拉伸、压缩时恢复力的“虎克定律”（Hooke’s Law）。弹簧以这个力驱动的周期性“简谐运动”（simple harmonic motion）遂成后代物理学生的必修课。11不久，惠更斯和虎克都推出以弹簧“游丝”（balance spring）推动“摆轮”（balance wheel）来回摆动的新时钟设计，摒弃硕大的悬摆。提供驱动力的笨重铁块也让位于弹簧“发条”（mainspring）。在两人为优先权争执不休之际，时钟走向小型化，有了可随身佩戴的表。
大约一个世纪后，英国匠人哈里森（John Harrison）制作出在海浪颠簸中“坚定”不移的航海钟，在81天的远航测试中只慢了5.1秒。该钟能长时间维持在港口校准的时间。海员以之与自己天文实测的当地时间比较计算出所在的经度，解决曾让伽利略、虎克等人绞尽脑汁、几百年间致使无数海员遇难的“经度难题”（longitude problem）。12
哈里森的钟可谓登峰造极之作，也是精雕细琢的艺术品。其异乎寻常精确度的背后是昂贵的成本，非普通民众可及。通常的钟表大体每天有几秒、十几秒的差错，需要经常重新校正。中国中央广播电台“嘀、嘀、嘀、嘀、嘀、嘟！刚才最后一响，是北京时间Ｘ点整。”的报时声因之家喻户晓。
及至二十世纪初，机械的摆和弹簧也逐渐退出历史舞台。
“石英”（quartz）是一种常见的天然晶体，外加电压时会发生振动。那也是循环运动。1927年，美国贝尔实验室（Bell Labs）两位工程师将石英晶体切制成特定大小和形状，宛如音乐家熟悉的“音叉”（tuning fork）以自身的特定频率振动。第一座“电子钟”（electronic clock）由此诞生。与机械钟不同的是石英振动的频率高达每秒钟32768次，只能由特殊的电子电路“计数”。电路将这个频率连续减半15次，获取一次一秒的钟表周期。电子钟表技术在1970年代后成熟，配置赏心悦目的数字显示风靡世界。即便普通的电子表也大约两天才会出现一秒差错，非机械表可及。电子钟表用作驱动力的电池使用时间很长也易于更换，免除人们每天为钟表“上发条”的劳累。
在石英崭露头角之前，音叉一度也是钟表里的明星。音叉发出单一声调（频率）的音波，而波动也是一种循环往复的运动模式。
光也是波动。早在1873年，以他著名的方程组揭示光为电磁波的麦克斯韦（James Clerk Maxwell）已经设想以光的波动计量时间。物理学家那时观察到很多物体发出的光有分立、单一频率的“谱线”（line spectrum），与音叉的发声很相像。这一机制直到二十世纪初量子力学（quantum mechanics）的建立才有了解释：原子或分子中的电子在不同的“能级”（energy level）之间跳跃，吸收或发射与之能量差相等频率的光。当它们与同样频率的电磁场相遇时，二者发生“共振”（resonance）导致发射的光强显著增加。原子分子发光的频率于是可被测定，与石英振动类似地由电子电路“数出”发光时的振动周期。外加的电磁场本身也扮演为原子分子提供驱动力的重物、电池角色。
“原子钟”最早在1949年现身，其中发光的却是氨（ammonia）分子。“真正”的原子钟紧随其后，使用的是金属铯（caesium）原子。铯原子的一条每秒振动9 192 631 770次的“超精细”（hyperfine）谱线独树一帜，革命性地颠覆人类的时间观念。
无论是悬摆、弹簧还是石英，作为时钟都得以太阳或恒星的运行校准，与几百年前里乔利的程式无异。里乔利那时已清楚太阳并不是最合适的标准。在亚里士多德和托勒密的地心宇宙里，漫天恒星镶嵌在同一个天球上围绕地球运转，步调一致地“斗转星移”。太阳则处在距离地球近得多的一个球壳上，不与恒星同步。13相比而言，恒星运行的“恒星时”（sidereal time）更为稳定，也是里乔利测试第四个摆时改用的参照。然而即使恒星时也存在“岁差”（precession of the equinoxes），早在公元前二世纪和公元五世纪分别被古希腊和中国的天文学家认识。哥白尼和开普勒的日心说对这些现象另有解释。恒星和太阳的“运行”只是地球自转的表现，太阳位置的偏差大部来自地球自转轴与公转平面的倾角。牛顿（Isaac Newton）后来指出地球在公转、自转时还像陀螺一样“进动”（precession），为岁差之来源。14
由于这些错综复杂，从一天正午到第二天正午“太阳日”（solar day）的时间不恒定，最多时会比24小时长30秒或短22秒。人们制定测量标准时只好想象一个“平均太阳日”（mean solar day）来定义时间最基本的单位：秒为平均太阳日的86400分之一。遗憾的是平均太阳日只是一个抽象的数学概念，没有可操作性。好在实际的太阳、恒星运行与之只有万分之几的误差，在机械甚至电子时钟年代不足挂齿。从十八世纪末到二十世纪中，人类校准时钟的标准——包括中央广播电台那最后一响——都来自对太阳和恒星位置的天文观测。
铯原子钟却不同凡响，准确度很快达到几千万年才差错一秒，令大自然的太阳、恒星望尘莫及。显然，后者不再有资格充当校对前者的标准。仅仅十二年后，国际计量委员会（International Committee of Weights and Measures）决定彻底颠倒秒的定义：与其铯用作原子钟那个超精细谱线1秒钟内振动9 192 631 770次，不如干脆选取它振动9 192 631 770次的时间为标准的1秒。
人类从此与日晷挥手道别。
作为标准，理想的铯原子钟“永远正确”，不会有偏差。事实并非如此。这个新标准也是一个与“平均太阳日”如出一辙的抽象概念。实际而言，没有人能直接测得铯原子那个超精细谱线的真实周期。
虽名为“原子钟”，铯原子钟内用作时间计量的是电子的来回跳跃或光的波动，非原子本身的振动。钟内的铯原子的确也在振动着，却成事不足败事有余。物理学的“多普勒效应”（Doppler effect）表明物体发出的波频率会因其运动速度改变，原子钟实际测得的光谱线也是被运动篡改后的结果。铯原子无规则的热运动不可避免，乃原子钟最大的误差来源。最早在美国国家标准与技术研究院前身实验室里面世的铯原子钟并不比已有的电子钟精确多少。而在相当长时间里，物理学家的对策只能是同时测量大量铯原子的光谱，以平均值方式抵消大部误差。这也是原子钟一个里乔利当年不可能想象的优势。他的每一个摆都出于很多天的呕心沥血，不可能复制。大自然却慷慨地为人类准备好不计其数的铯原子。它们互相之间完全如一，只是在热运动中的状态不同。
自1980年代始，“激光冷却”（laser cooling）技术15将铯原子的速度从室温下的每秒几百米“冷却”到每秒几厘米。原子钟的准确性再上一层楼，几亿年才差错一秒。
铯原子固然得天独厚，却也远非准确计时的天花板。每秒32768次的石英比每秒一次的摆或摆轮准确得多；每秒振动9 192 631 770次的铯原子谱线尤为其甚。但它还属于频率相对较低的“微波”（microwave）。人眼能直接感应的“可见光”（visible light）的频率又高得多。叶军赢得沃尔夫奖的光晶格钟选用的是锶（strontium）原子发出的一个红光谱线，每秒振动429 228 004 229 873次，比铯原子的微波谱线高近五万倍。
面对这么高频的振动，轻松计数石英和微波振动的电子电路也只能与里乔利的肉眼一起望洋兴叹。国家标准与技术研究院的霍尔（John Hall）在1990年代发明“光频率梳”（optical frequency comb），与电子电路类似地将可见光的高频逐步降至为可计数的微波频率。霍尔为此分享2005年诺贝尔物理学奖。16
21世纪初，日本东京大学的香取秀俊（Hidetoshi Katori）提出用纵横交错的激光束构造出错落有致的“鸡蛋盒”（egg carton）。一个个被冷却的锶原子如同鸡蛋，中规中矩地在“盒子”里排列成酷似固体内部原子排列的“晶格”（lattice）。当激光的频率与晶格尺寸形成完美匹配时，原子热运动对自身发光频率的干扰最小——原子钟的理想条件。
叶军恰为霍尔的关门弟子。他得心应手地发挥导师的光频率梳和香取秀俊的原子晶格及“魔术频率”（magic frequency）技术，自2014年起屡屡打破已有的原子钟准确度记录。十年后，他的锶原子光晶格钟每150亿年才会出现一秒差错，而宇宙迄今的年龄也“才”140亿年。
叶军的这个记录只保持一年。2025年，国家标准与技术研究院另一个团队在他的协助下制作出“离子钟”（ion clock），准确度翻倍至330亿年才差错一秒。更有甚者，几乎与叶军赢得沃尔夫奖的新闻发布同时，新加坡国立大学（National University of Singapore）的量子技术中心（Centre for Quantum Technologies）宣布他们的原子钟不出现一秒差错的运行时间长达2600亿年。
同时，下一代基于原子核内能级振动的“核钟”（nuclear clock）也已呼之欲出。
也许在不远的未来，国际计量委员会将不得不再度修改秒的定义，让铯原子从时间标准的岗位光荣退休。
现代人早已不再为计时操心。电子钟表无处不在，随时提供准确的时间。人们偶尔校对钟表时也无需定时聆听“刚才最后一响”，随身携带的手机自动地与标准的铯原子钟信号保持同步。没有人会像叶军和他国家标准与技术研究院的同事们那样为钟表的准确度斤斤计较。
不过钟表从来也不是单纯的计时工具。当年里乔利不遗余力地调试、改进他的摆，目的在于证伪伽利略新发现的运动学。摆对他而言是一个理解大自然必不可少的工具。尽管事与愿违，他为伽利略的物理学提供第一个直接的定量证明。
发明摆钟的同时，惠更斯定量地揭示悬摆的周期与摆长平方根成正比，同时也与重力加速度平方根成反比。由于地球的扁球体形状和地质、地理的不均匀，地球表面各地的重力加速度并不完全等同。同一个摆钟在不同地点计量时间时会出现不同偏差，反映出地球重力的微妙分布。摆钟因而是最早也是最简单的“重力仪”（gravimeter），在十七世纪时已在世界各地广泛应用。17
在时钟已然普及的二十世纪初，人们曾为如何保证相距甚远的各个火车站的时钟同步费尽心思。瑞士专利局的年轻小职员爱因斯坦（Albert Einstein）在审理五花八门的时间校对专利申请时洞察秋毫，发展出改写伽利略、牛顿动力学的“相对论”（relativity）。他的理论过于匪夷所思，曾让诺贝尔物理学奖评奖者不知所措。1920年的诺贝尔物理学奖与众望所归的爱因斯坦无缘，意外地由瑞士人纪尧姆（Charles Guillaume）获取。18纪尧姆以发明性能稳定的金属合金著称，用之制作摆轮和游丝能有效抗拒环境温度等因素影响，保持时钟的准确。他不会想到自己改进的时钟会与惨被诺贝尔奖罔顾的相对论有什么瓜葛。
但在爱因斯坦划时代的理论里，时间不再绝对，与物体的运动速度和所处重力环境息息相关。几十年后，爱因斯坦预测的时间差别在远比纪尧姆的机械钟表精确的铯原子钟里一再显露无疑，正是里乔利用摆验证伽利略运动学、十七世纪科学家以摆探测地球重力分布的历史回声。今天，携带着铯原子钟的卫星傲游天际，以它们精确的时间信号确定地球表面任何地点的坐标。这个现代人熟悉的“全球定位系统”（Global Positioning System，简称 GPS）蕴含着相对论的实际应用。
叶军和他的同行们不至于怀疑爱因斯坦和相对论。但与近四百年前的里乔利别无二致，他们孜孜不倦地调试精确度越来越超乎想象的钟表，一丝不苟地继续验证着以相对论和量子力学为代表的现代物理学每一个细节。到目前为止，爱因斯坦和当代物理学家的理论经受住这个严酷的考验。但出乎意料的惊奇也可能正隐藏在那原子内部、无人能听到的滴答、滴答声中。
主要参考资料：
1. C. M. Graney, Anatomy of a fall: Giovanni Battista Riccioli and the story of g, Physics Today 65 36-40 (2012)
2. C. Orzel, A Brief History of Timekeeping BenBella Books (2022)
3. NIST, ATOMS: Nature’s Perfect Timekeepers
分别为“处女座”（Virgo）和“牧夫座”（Bootis）里最明亮的恒星。
详见《科学随笔：伽利略与斜塔、斜面及地狱》。
Dialogue Concerning the Two Chief World Systems
参阅《漫步科学：追寻伽利略的足迹（III）比萨》。
Almagestum novum
惜乎里乔利命名的“伽利略陨石坑”不真是陨石坑。后人只好另为“伽利略陨石坑”选址。
详见《科学随笔：伽利略与月球、金星及天堂》。
参阅《漫步科学：第谷的小岛天文台遗址》。
详见《科学随笔：伽利略与浮体、潮汐及理性》。
激光冷却的原理详见《科学随笔：一个物理学家的万米长跑与玻色-爱因斯坦凝聚》。