科学随笔：伽利略与斜塔、斜面及地狱
今年（2024）是伽利略诞生460周年。这是相关文章之第一篇
1591年的一天，意大利海滨城市比萨十分热闹。比萨大学的师生尽数走出校园，来到市中心大教堂的钟楼之下。教堂和钟楼都已经有了五百年的历史。那钟楼尤其引人注目。它在建筑时因为地基问题开始倾斜，形成一座远近闻名的“斜塔”。这天，比萨大学的伽利略（Galileo Galilei）教授要利用这个特殊的便利演示物理实验。
伽利略那年27岁，风华正茂。他在斜塔最高层出现，借助塔的倾斜度正好可以无障碍地俯瞰地面。随后，他在众人瞩目之下松开双手，让两个不同大小的球直线下落。下面的观众清楚地看到两个球同时落地，欢声雷动。
那一刻，伽利略和形状突兀的钟楼进入人类史册。即使在又历经四百多年后的今天，依然耸立着的比萨斜塔继续风靡全球。
与许多历史传说一样，这个栩栩如生的的场景可以肯定并没有发生过。
故事最早出现于伽利略去世15年之后。他的关门弟子维维亚尼（Vincenzo Viviani）在1657年为伽利略出版传记，提及导师曾在比萨斜塔上演示落体实验，否定亚里士多德（Aristotle）的权威结论。维维亚尼的描述相当简略，甚至没有给出事件发生的年份。还是在后世作家接二连三的生花妙笔下，这桩轶事才逐渐有了越来越丰富的生动细节。
伽利略生前著述甚丰，但没有提及过这个场景。那些据称在现场亲眼目睹的比萨大学师生也从未留下任何回忆。一位名叫科雷西奥（Giorgio Coresio）的讲师叙述他曾在1612年爬上斜塔做过一个类似的实验，看到两个球在不同的时间落地。那已经是伽利略离开比萨的20年后，科雷西奥居然只字未提当年曾轰动一时的先例。于是，维维亚尼的记叙是伽利略斜塔实验绝无仅有的孤证。
维维亚尼在1639年来到伽利略身边时才年方18。伽利略已经75岁，备受风湿等疾病折磨，还因为罗马宗教裁判所1的判决处于居家软禁状态。满怀对这位前辈大师崇敬的维维亚尼在伽利略家中食宿、学习并陪伴照料，直到老人去世。他后来整理出那些年在病榻前聆听到的趣闻，成为导师的第一部传记。那也是伽利略众多传奇的原始出处。
例如维维亚尼还记叙19岁的伽利略曾在巴萨大教堂里注意到悬挂在天花板上的巨大蜡烛灯架随风来回摆动。他数着自己的脉搏，惊奇地发觉吊灯摆动的周期非常稳定，不随摆动幅度变动。伽利略那时还是大学生，这个摆的等时性原理应该是他人生第一个重大发现。可惜巴萨大教堂的华丽大吊灯装置于1587年，比维维亚尼所述晚了四年。
不过毋庸置疑，伽利略的斜塔实验无论真实与否已经拥有历史性的象征意义。它是现代物理学乃至现代科学诞生的标志。
作为一门学科，“物理”正是起源于古希腊的亚里士多德。在伽利略的16世纪，文艺复兴正在欧洲方兴未艾。他出生的佛罗伦萨地区正是其中心所在。柏拉图（Plato）和亚里士多德的哲学及物理学2、欧几里德（Euclid）的几何学、托勒密（Ptolemy）的天文学和盖伦（Galen）的医学以及其它古希腊、古罗马经典文献构成大学里的正统教材。这些两千年前的人类智慧曾经在中世纪的欧洲彻底失传，那时重见天日还不过几百年。
伽利略成为比萨大学的学生时还是一位少不更事的小青年。他遵照父亲的嘱咐进了医学院。伽利略的父亲是当地有名的琵琶3师，在音乐理论上颇有造诣却毕生贫穷。他希望有天赋的儿子能学会一门实用手艺改变命运。可是盖伦书里的生理结构让伽利略兴味索然。他更钟意亚里士多德和欧几里德的严谨逻辑。19岁时，伽利略自作主张，退学改修优美却不那么实用的数学。
也许他确曾在那年的某个地方专注过某个吊灯的风中摇曳，为之着迷。
大学毕业后，伽利略在1588年获得一次崭露头角的机会。他应邀在佛罗伦萨学会做两场学术讲座，论证地狱的结构。
250多年前，意大利诗人但丁（Dante Alighieri）在文艺复兴初期创作长诗《神曲》4，生动细致地描写他在梦幻中参观地狱、炼狱和天堂的所见所闻。诗中的地狱在地面上以耶路撒冷为中心，呈漏斗状分九层深入地下直达地心。后代学者对这一描述甚为好奇。佛罗伦萨的数学家和建筑师马内蒂（Antonio Manetti）曾在15世纪将但丁的文字转化为具体的建筑设计。
马内蒂的诠释后来遭到比他年轻50年的维鲁泰罗（Alessandro Vellutello）抨击。维鲁泰罗认为马内蒂的构造无法承重，肯定会崩溃。这在钟爱马内蒂的佛罗伦萨人眼里不啻于恶意诽谤。维鲁泰罗出生于卢卡，佛罗伦萨曾屡屡鏖战的宿敌。
这样，伽利略的奇葩课题蕴含当地的浓郁历史，不仅是一个幻想题材的科学趣谈。
24岁的伽利略在讲台上不慌不忙，熟练地运用欧几里德几何学推算但丁描述的地狱应有的各个尺寸。他结合物理知识雄辩地证明马内蒂的模型无懈可击，反倒是维鲁泰罗自己设计的柱子会经受不住自身重量而坍塌。不出所料，他的逻辑和结论赢得佛罗伦萨听众的满堂彩。
伽利略因之声名大噪，顺利地赢得比萨大学数学教授席位。他事先认真地为这场关键性讲座写出题为《论但丁地狱的形状、地点和尺寸》5的论文，却没有趁热打铁发表。其后的几十年里，他也没再提及那次青春的辉煌，垂垂老矣时也没有向承欢膝下的维维亚尼转述。伽利略很可能在讲座之后很快发觉自己犯了错误。马内蒂的地狱确实如维鲁泰罗所指，无法稳固。
在证明马内蒂设计的可行性时，伽利略根据当时的教堂等大型建筑中常见的穹顶估算每层地面的承重能力。他没有顾及但丁地狱的规模远超人类想象，其长宽高均堪比地球半径。将教堂穹顶的结构按比例放大以后不可能同样地举重若轻。
迟至去世前的1638年，伽利略才在他生前出版的最后一部著作《关于两门新科学的对话及数学证明》6中纠正自己半个世纪前的失误。他指出如果有同样材料、同样比例建造的两艘船只，大的那艘肯定会比小的脆弱。因为物体按比例放大时，体积和重量会随尺度的立方增长，而承担重量的横截面强度只能以尺度平方扩大，必然难以为继。超过一定的尺度，同样的结构势必无法承担自身的重量。由此，伽利略指出自然的生物和人类的艺术创造都不可能无限制地按比例放大，形成超巨型的船舶、宫殿或树木、野兽。但丁和马内蒂臆想的地狱亦是如此。
面积和体积的尺度本是数学之常识。因为伽利略的反思，人们开始把握比例放大或缩小中的尺度效应。那是一个非常实用的概念。
当然，论证地狱的结构并不具实用价值。但那也是古希腊先哲们热衷的游戏。他们通过睿智的思辩大胆假设、逻辑推论，也寻求其中精巧的悖论。伽利略的学术讲座与这个传统一脉相承。可能也是在这前车之鉴中，他有所醒悟：纯粹的理性思维并不可靠。
亚里士多德也是通过思辩归纳出自然界物体的运动规律。他指出重物有着回归地球中心的本能，一旦失去支撑就会下落。这个本能表现为物体的重量，越重的物体下落得越快。倘若有好事之徒从高塔上同时扔下十斤和一斤重的球，重的那个会以快十倍的速度早早落地。亚里士多德没有也不需要去亲自试一试。理性的思辩足以提供答案，正如两千年后马内蒂、维鲁泰罗和伽利略们的唇枪舌剑。
然而也正是思辩让伽利略产生对先哲的疑虑。还是大学生时，他想象如果将两个不同重量的球捆绑在一起，它们下落时势必会因为速度不同而互相拉扯，最终只能达到一个比重球慢、轻球快的中间速度。不过，捆在一起的两个球也是一个整体，重量为二球之和。它理应下落得比重球更快。这显然自相矛盾。这个悖论当然也有一个简单的解决方案，只需假定物体下落时无论轻重都有同样的速度。只是那与亚里士多德延续两千年的教条相违。
伽利略那时大概不知道他的思考即为所谓的“假想实验”。不过他纵然信心十足，也明白自己需要切实的证据，以弥补理性思辩之不足。
在生前未发表的笔记里，伽利略多次记录过实际观察不同物体下落的情形。他知道空气阻力的影响，使用的是大小相同的木球和铅球。重的铅球确实比木球先落地。但二者之差极其微小，绝不是亚里士多德声称的显著区别。奇怪的倒是木球开始时还略为领先，只是随后被铅球超越。
亚里士多德描述的下落物体保持由其重量决定的恒定速度。伽利略看到的真实落体却表现出速度在变化。他知道空气的阻力与水的阻力相仿，物体在其中下落时最后会达到一个恒定的“终端速度”（terminal velocity）。只是这与日常的落体运动无关。因为空气阻力非常小，即使从比萨斜塔那样的高度上撒手，铅球或木球也不会在落地之前达到终端速度。因此，他需要测落体在不同时刻的实际速度。怎奈重物落地犹如昙花一现，他无法获取可靠的数据。
由此推测，伽利略在比萨时也不大可能会贸然登上斜塔，向全校师生演示这个他还没能理清头绪的实验。
1591年，伽利略一生清贫的父亲去世。身为长子的伽利略不得不承担起家庭重任，需要照顾母亲、资助继承父业担任乐师的弟弟，还得为两个妹妹支付高额嫁妆。他当年没有听从父亲的良言当医生，这时陷入捉襟见肘窘境。数学教授的地位与乐师不相上下，工资只有同校哲学教授的十分之一。好在伽利略逐渐声名在外，在1592年获得帕多瓦大学数学教授席位。
帕多瓦大学创办于1222年，是意大利的第二老牌大学。7伽利略到来时，那里正精英汇集，如日中天。
伽利略后来回忆在帕多瓦的18年是他人生最美好的时光。不过虽然工资比在比萨时涨了三倍，他还是入不敷出。他于是私下招募贵族学生，通过为他们提供食宿、课外补习、占星算命等服务获取额外报酬。他还雇佣一位工匠大量制作自己发明的实用工具出售。一种用来量度距离、按比例放大图形，还能像现代计算尺般进行代数计算的圆规尤其受欢迎，带来不菲的盈利。那也是历史上第一个商业化的科学仪器。
当然，授课解惑赚钱之余，伽利略没有忘记他的落体运动。
帕多瓦没有斜塔。伽利略也没有哗众取宠的必要。在远离公众视线的实验室里，他发挥非凡的创造性和动手能力，为测量落体运动找出匪夷所思的诀窍。
几乎每个孩子都见过圆圆的珠子或球在倾斜的路面滚下。伽利略对这个孩童玩具倾心观察，发现如果斜面足够光滑，珠子滚下时基本上不受摩擦阻力影响。他更注意到珠子从静止滚下后的速度只取决于高度之差，与其走过的路程或经历的时间无关。8这样，珠子在斜面上的滚动其实有两个互为独立的成分：水平的横向运动和垂直的纵向运动。后者与珠子在空中的下落没有区别。
在一个倾角很大因而陡峭的斜面上，珠子会很快地从某个高处滚到某个低处。如果倾角接近90度，那便与纯粹的落体运动无异。反之，如果倾角比较小，珠子会需要更长的时间和斜面长度才能从同样的高处滚到同样的低处。但在最终抵达时，它还是有与陡峭斜面上相同的速度。因此，即使一个缓慢滚动的纵向运动也是一次“落体”。这样，伽利略有效地大幅度减慢物体的下落，得以从容不迫地观察这个原本稍纵即逝的过程。
不过即使是缓缓滚落的珠子，精确的测量在那个17世纪之初也绝非易事。
维维亚尼讲述的吊灯摆动故事大概不会是纯粹虚构。伽利略从小跟随父亲演奏琵琶，对音乐节奏比较敏感。他可能会不由自主地随某处吊灯的摆动打节拍，从而察觉其稳定的周期性。事实上，伽利略确实认真研究过摆动，只是他笔记中关于摆的记录最早出现于1598年。那时他已身在帕多瓦。
大凡周期性稳定的运动都可以作为计量时间的工具。伽利略因而不会忽略摆动。他在多年后还曾与儿子一起试图利用摆的等时性原理设计时钟，没能成功。摆钟要到1656年才由荷兰物理学家惠更斯（Christiaan Huygens）发明。那时伽利略已然作古。
因为没有得心应手的计时工具，伽利略别出心裁地在斜面上放置一连串铃铛。滚珠经过时会逐一敲响，宣告它在那个时刻的确切位置。逐个调整铃铛之间的距离，他可以让铃声形成乐曲般的节拍，即每两次铃响之间是同样的一拍。他甚至在斜面边上设置一个摆，让滚珠和摆同时启动，检验铃声与摆的同步。这样，那串铃铛构成为滚珠量身定做的周期性“时钟”，准确测量滚珠在相同时间内走过的路程，即速度。
这样调试后的铃铛之间距离不均等，鲜明地显示滚珠所作并非亚里士多德的匀速运动。这些距离自上而下逐步变长，说明滚珠的速度在持续地增大。而铃铛的分布也很有规律。伽利略从中得出一个简单结论：滚珠走过的垂直距离与时间的平方成正比。或者说滚珠“下落”的速度在随时间均匀地增长，也就是有一个恒定的“加速度”。
亚里士多德曾言简意赅地指出：“对运动的无知意味着对自然的无知。”9在伽利略匠心独具的实验室里，人类对运动的认识伴随着清脆而富有节奏的铃声进入精确定量的新时代。物理学不再只是海阔天空的思辩。
当他更换重量不同的滚珠重复实验时，伽利略发现他并不需要重新调整铃铛的位置。铅球和木球表现出完全相同的加速行为。他于是大胆推断，在没有空气阻力的理想环境里，所有物体——即使是羽毛和铁球——都会以同样的速度下落、同时着地。他当初看到过的木球与铅球下落时的微小差异只是另外的随机因素使然10。
滚珠走完斜面后还会继续在桌面上滚动。伽利略也没有错过这个观察、测量单纯横向运动的机会。他很快又断定一个物体如果没有外力的作用会永久地保持原有的静止或匀速运动状态。
如果桌面不够大，滚珠又会继续落下地面。它在离开桌面边缘时带有一定的水平速度，与通常的落体略为不同。伽利略这时已经知道滚珠在水平方向是匀速运动，距离与时间成正比。而在垂直方向，滚珠走的距离则会与时间的平方成正比。如此形成的轨迹是数学家早已熟悉的一种曲线，即我们今天所称的“抛物线”。他的实际观察也证实这个结论。
在帕多瓦，伽利略没顾得上发表这一系列重大成就，也没有追究造成物体以恒定加速度下落的究竟是一个什么力。他那时已经又有了更为震撼人心的新发现，即将彻底改变人类的世界观和自己的命运。直到1638年，他才在《关于两门新科学的对话及数学证明》中阐述自己根据实验总结出的物体运动规律。
1642年1月8日，伽利略与世长辞。几乎整整一年后，一位被取名为艾萨克·牛顿（Isaac Newton）的婴儿在英国呱呱坠地。1686年，牛顿出版《自然哲学的数学原理》11，利用他发明的微积分和万有引力概念为伽利略的实验数据赋予严格的数学定义和动力学方程12。
从认识运动到认识自然，人类科学革命的曙光由此降临。
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主要参考资料：
Mario Livio, Galileo and the Science Deniers, Simon & Schuster, 2020, pp.1-52,203-206
J. L. Heilbron, Galileo, Oxford University Press, 2010, pp. 1-63
Steve Weinberg, To Explain the World: The Discovery of Modern Science, Harper, 2015, pp.189-194.
Dava Sobel, Galileo's Daughter: A Historical Memoir of Science, Faith, and Love, Penguin Books, 1999, pp.13-27
Roman Inquisition
那个年代的物理学还没有从哲学中分离，通常被成为“自然哲学”。
Lute，也译作“鲁特琴”。
Divine Comedy
On the Shape, Location, and Size of Dante's Inferno
Discourses and Mathematical Demonstrations Relating to Two New Sciences
帕多瓦大学的历史资格仅次于全世界最古老、1088年创立的博洛尼亚大学。也正是一批博洛尼亚大学的师生“反叛”独立而创建帕多瓦大学。
学过初级物理的读者可以很容易地通过势能向动能转换理解这一点。
Ignato motu, ignatur natura
有人在现代重复伽利略过去的实验，猜测他看到木球最初比铁球下落快的原因可能是实验者手抓重量不同的球时力度不一样，释放时的反应时间也因之有差异，无意中造成木球“抢跑”。
The Mathematical Principles of Natural Philosophy
参阅《科学随笔：牛顿、虎克、哈雷和〈自然哲学的数学原理〉。》