科学随笔：牛顿、虎克、哈雷和《自然哲学的数学原理》
牛顿与虎克万有引力优先权争议背后的故事
1680年年底，一颗彗星的出现引起广泛注意。这类奇异天象在中国被称作“扫帚星”，视为人间重大变故的预兆。不过彗星在17世纪并不罕见。那颗彗星在太阳附近消失后不久，又有彗星在1681年初露面。一年多后，彗星又在1682年接踵而至。接二连三的彗星执拗地将欧洲学者们的目光引向天穹，观测、思考这些星体的足迹。
相对于行踪不定的彗星，太阳系行星的运动规律已经在半个多世纪前由德国天文学家开普勒（Johannes Kepler）揭示。他通过分析导师第谷（Tycho Brahe）留下的大量观测数据总结出行星运行的三定律：
所有行星的轨道都是椭圆，太阳位于椭圆的一个焦点
行星与太阳的连线在同样的时间间隔中扫过相等的面积
各个行星绕太阳一周时间平方与其轨道半长轴立方的比例相等
开普勒无法解释这些奇怪规律的来源，但地球与水星、金星、火星、木星和土星都遵从如此规矩的轨道运动。人类因而可以准确预测它们将来会出现的方位。然而，只是偶尔露峥嵘的彗星不在此列。第谷和开普勒曾分别在1577和1607年与彗星不期而遇，各自做过细致的观测。1因为彗星现身时间非常短暂，难以把握其踪迹。他们只能判定彗星是来自太阳系外的过客，直线穿越后即无影无踪。
但在17世纪后期，天文学家的观测已经比开普勒更准确。他们知道彗星走的并不是直线，与行星一样有着弯曲的轨迹，却又有所不同。
开普勒的三定律表明不同行星在围绕太阳公转时有着相当一致的行为。法国哲学家笛卡尔（Rene Descartes）认为它们的运动并非彼此独立。太阳系充斥着看不见摸不着的“以太”（aether），在太阳周围形成巨大的涡流。地球和其它行星都是受其推动，像水中被漩涡裹挟着的浮萍一样在运动。所有行星都向着同一个方向公转，它们的轨道也都处于同一个平面。这些正与涡旋图像相符。彗星却没有同样的步调。它们的路径往往不会与行星轨道处于同一平面。有些彗星的运行方向还会与行星相反，在以太漩涡中逆流而行。显然，笛卡尔的泛泛而谈已经难以为继。太阳系星体运动亟需更合理的解释。
几年后，英国王家学会在1686年4月21日2举行例会。书记员哈雷（Edmond Halley）汇报他最近拜访剑桥大学教授牛顿（Isaac Newton）的收获。牛顿已经在行星运动问题上取得颠覆性进展，以太阳对行星的引力与二者之间距离的平方成反比的假设成功推导出开普勒的三个定律，正在筹划一部题为《自然哲学的数学原理》3的专著。与会成员们听后兴致盎然，当即决定由学会出版这部著作，指令哈雷全权负责。
不过会上也有不和谐的声音。在座的虎克（Robert Hooke）指出那个引力与距离平方成反比的规律并非牛顿的发明。他早在十来年前提出，还曾专门与牛顿书信切磋。
虎克那年51岁，是王家学会“与生俱来”的主力干将。
王家学会创立于1660年，那时还只有不足30年的历史。学会的宗旨是弘扬科学知识和科学方法，尤其是以实验手段探索自然。成立后不久，刚刚20出头的虎克即被聘为学会“实验员”4，专职实施会员提出的各种实验。虎克出身贫寒，在牛津大学上学期间已经崭露头角。他发明一种真空泵，协助著名化学家波义耳（Robert Boyle）发现气体在恒温下体积与压强成反比的“波义耳定律”。在王家学会的资助下，年轻的虎克如鱼得水，相继完成一系列光学、力学实验和天文观测。不到几年他即出版《显微图谱》5，第一次为人类展现出显微镜下丰富多彩的微观世界，包括由他命名的生命体基本结构：细胞。6那是王家学会出版的第一部巨著，也是科学题材的第一本畅销书。它一举奠定虎克的杰出科学家地位。
在《显微图谱》的最后，虎克提到地球表面的重力不恒定，随高度减弱。那时早已有人将气压计和摆钟搬运到高海拔的山顶上测量，发现那里的气压比地面低，摆钟也走得慢一点。钟摆的原理早已被意大利的伽利略（Galileo Galilei）和荷兰的惠更斯（Christiaan Huygens）认识，其用作计时的周期与所在地的重力有关。虽然山地与平地的重力只是一个非常小的差别，但钟摆是一个具备累积效应的测量方式，可以久而久之即积少成多。虎克由此知道离地心稍微远一点的山顶上重力比地面小，猜测其以地心距离的平方成反比。
《显微图谱》大功告成的1664年也有彗星出现。王家学会委托虎克和比他大三岁的好朋友雷恩（Christopher Wren）进行跟踪观测。正是他们察觉到彗星的轨迹在接近太阳时发生弯曲，走的不是直线。虎克大胆猜测那其实是1618年曾经出现过的同一颗彗星，还会在未来持续重返。这样一来，彗星也不是开普勒所谓的过客。它们是太阳系的一部分，有着与行星相似的周期性轨道。
虎克也不认同笛卡尔的以太涡旋。他认为行星或彗星都有着各自独立的运动。它们本来会永恒地沿直线行进，只是因为外力的持续作用才不得不走了弯曲轨道。这个外力指向曲线轨迹的中心，正是太阳之所在。因此，行星、彗星的轨道来自太阳的引力。
在这个节骨眼上，虎克却没能进一步思考。1666年的一场大火将整个伦敦内城化为灰烬。雷恩和虎克全力投入灾后的重建，作为建筑师规划新城市。他们设计的教堂和其它建筑保持至今，但虎克也因此无暇顾及远在天边的太阳系。
十多年后，虎克才旧话重提。他在1679年底给牛顿写信，全面阐述自己对引力和行星轨道的看法，希望能引起这个比自己小七岁，但已经锋芒毕露的剑桥教授注意。
1664年时牛顿还只是剑桥大学的学生，也曾观测过那时的彗星。他也已经对笛卡尔的以太涡旋论产生疑问，正在自己探讨行星轨道问题。一年后，他毕业时恰逢伦敦的一场大瘟疫。牛顿疏散回家，经历一个才思泉涌的“奇迹年”。他发明微积分，也对物体的动力学和天体运动有了新的体会。但因为个性孤僻内向，他疏于发表自己的成果，也有另外更为倾心的课题：炼金术和神学。
十多年后收到虎克来信时，牛顿对信中有关引力与距离平方成反比的说法并不惊讶。虎克当初在《显微图谱》中提到的只是地球大气层中的重力可能与距离的平方成反比，但没有给出任何根据。他的灵感可能出自将重力与光的球面波作类比：与球面积的增长相应，光强随距离的平方衰减。但在1679年那封信中，虎克已经将这个规律看作引力的普遍性质，但还是没有切实的根据。
还是大学生时，牛顿曾经细致地研究过物体的圆周运动。他使用极限手法，以多边形逼近圆。物体沿直线运动时速度没有变化，但在每次转折时必须有外力的作用。他以此推导出圆周运动中必须有一个与半径平方成反比的力。
惠更斯也在1670年代由开普勒的第三定律推断出行星轨道运动需要一个与太阳距离平方成反比的力。开普勒的那个定律看起来相当复杂，但在将行星的椭圆轨道近似成圆形时会变成一个运动周期与轨道半径之间的简单关系。惠更斯便是从中找到一个与半径平方成反比的力。他把这个力叫做“离心力”。因为圆周运动中的物体就像一块被栓在绳子上轮圈的石头一样，时刻在试图挣脱绳子束缚“离心”而去。太阳对行星的引力就像绳子一样与该离心力相对，保持行星轨道运动的平衡态。在那之后，引力与距离平方成反比的猜测在学者圈子内已经广为人知。牛顿记得他在1677年时曾与雷恩讨论过这个设想。
牛顿那时也与惠更斯一样认为圆周运动中的力是离心力，需要另外的力与之平衡。还是在阅读虎克来信之后他才改变看法。物体的圆周运动并不是平衡态，也不存在什么离心力。其中只是一个指向圆心的力在阻扰物体的直线运动，迫使它们转圈。牛顿于是仿造“离心力”（centrifugal force）的名称生造出“向心力”（centripetal force）一词来描述圆周运动的实质。太阳对行星的引力正是为它们提供轨道运动的向心力。
这个观念的变化应该归功于虎克来信的启迪。但牛顿回信时没有致谢，只是轻描淡写地表示过去未曾知悉虎克的高见。行星的实际轨道是椭圆，远比圆周运动复杂。牛顿在信中提醒虎克实际推导该轨道不会容易。他自己似乎也没有兴趣。
彗星在1680年后的接踵出现又一次激发热情。王家天文学家弗兰斯蒂德（John Flamsteed）力排众议，认为1680年底和1681年初那两颗彗星其实是同一颗。它先因太阳的引力而来，但在接近太阳时由于太阳的引力突然变为斥力而“碰壁”，在1681年初反方向离开太阳系。
牛顿对这个太阳“始乱终弃”的奇葩解释嗤之以鼻。不过他随后也承认它们可能真是同一颗彗星。只是彗星是在绕过太阳后才返回，自始自终受到的是太阳的吸引力，与行星别无二致。于是，太阳系的运行问题再度进入牛顿的视野。
1684年1月的一天，雷恩、虎克和哈雷在出席王家学会会议后循惯例来到一家咖啡馆闲谈。他们那时都在试图在太阳的引力与距离平方成反比前提下推算行星的轨道。哈雷坦承失败。虎克则声称他已经证明这样的引力必然导致行星的椭圆轨道，满足开普勒第一定律。
雷恩却不为所动。他太了解这位爱吹牛的老搭档，当即下注：如果虎克或者哈雷能在两个月内给出切实的证明，就能从雷恩手里赢得一本价值40先令的书。
一晃大半年过去，虎克果然没能拿出证明。哈雷也一筹莫展。不过他也情有可原。哈雷的父亲在臭名昭著的伦敦塔里担任狱卒，那年莫名其妙失踪，被找到时已经是一具尸体。没有人知道他的死因，可能是被当时一次未遂谋反案连累。哈雷不得不为家业东奔西走。八月的一天，他顺路拜访剑桥的牛顿，忍不住询问：假如太阳的引力随距离平方成反比，行星会有什么样的轨道？牛顿不假思索地回答：椭圆。
哈雷大吃一惊，愿闻其详。牛顿说他早先推导出这个结果，尚未公开。尽管哈雷心急火燎，牛顿却没能在纸堆里翻找到自己的演算，只得答允随后尽快弥补。
三个月后，哈雷才等到牛顿的回音。那是一篇长达九页、题为《论物体的轨道运动》7的论文。其中，牛顿证明与距离平方成反比的引力是行星椭圆轨道8既充分又必要的条件。他还顺带推导出开普勒的第二和第三定律。这样，行星运动的全部秘密都有了逻辑的解释。而且，牛顿表明开普勒三定律不仅适用于行星在太阳引力下的运动，月球绕地球的运动以及土星和木星各自卫星的运动都如出一辙，均属同样引力场中的运动。
哈雷又惊又喜，立即赶赴剑桥再次与牛顿面谈。他深知这篇论文意义重大，提议牛顿继续扩充其内涵和外延。哈雷同时在那年12月的王家学会会议上简短汇报，在确立牛顿优先权的同时预示他还会有更大的突破。
他们都还要等到1686年4月的会议才听到哈雷再次报告牛顿的进度。
哈雷的持续来访和持之以恒的激励终于促使近乎隐居的牛顿在那一年多里搁置他的炼金术和神学，全力以赴于“物体的轨道运动”。当那篇小论文不断地扩展为《自然哲学的数学原理》时，牛顿已经为动力学建立一套完整的数学体系，即他自己的三定律9：
物体保持静止或匀速直线运动状态，直到因受外力改变
物体受外力时加速度方向与外力一致，大小与外力成正比，与物体的质量成反比
相互作用的两个物体之间有着大小相等方向相反的作用力和反作用力
自伽利略在半个世纪前开创科学的实验手段之后，从惠更斯到虎克的物理学家对牛顿的第一和第二定律已经有所掌握。在《自然哲学的数学原理》，牛顿只是事无巨细地为其中涉及的概念逐一赋予严格定义，使之成为精确的数学表述。
第三定律则是牛顿的首创：在太阳吸引地球的同时，地球也在以同等的力量在吸引着太阳。由于这个对称性，牛顿可以判定物体之间的引力不仅与其间距离的平方成反比，同时也与二者的质量成正比。这样，他有了完整的引力公式。随后，他又做了两个演算作为验证。
首先，牛顿证明如果将一个质量均匀分布的球形物体分割成无数小部分，它们各自对对另一物体引力的总和与将其全部质量置于球心所产生的引力相等。这样，在计算引力作用时，即使太阳那样巨大的星体也可以被当作一个没有大小的“质点”。
牛顿又具体地计算地球对月球的引力，将之与地球表面物体的重力相比。虽然结果因为缺乏准确的地球半径等数据而差强人意，牛顿也足以看到它们彼此吻合。于是，月球绕地球公转与物体在地球表面的下落背后是同一个缘由：地球对它们的吸引力。这证明相同的引力不仅出自太阳这样的巨大星体，也存在于地球上乃至宇宙中所有物体之间。是为“万有引力”10。
毋庸置疑，牛顿仍然在撰写中的《自然哲学的数学原理》将是一部动力学的开创性文献。王家学会的成员们不假思索地决定由学会包揽出版这部划时代巨著的历史责任。
只有虎克颇有微词。他认为引力的普适性及其随距离平方成反比的规律是自己的首创，不属于牛顿。
王家学会的书呆子们没有顾及他们的学会那时正捉襟见肘，经常连职员工资都无力支付，并没有出书的资金。哈雷没有在乎。他早已准备好自己掏钱为牛顿出书，需要的只是王家学会的名头。获取尚方宝剑后，哈雷找好两家印刷商，亲自设计以木刻方式制作书中的大量插图，让它们与相应文字出现在同一书页上方便读者的阅读和领会。当然他最艰巨的任务在于保证牛顿能够按期提供书稿，尤其是在虎克的节外生枝之后。
哈雷会后立即给牛顿写信通报，也提及虎克的抱怨。他委婉地建议牛顿在前言里鸣谢虎克的贡献。牛顿回信表示没有异议：他记得虎克1679年的那次来信。
不料三个星期后，牛顿又给哈雷寄来一封长信，口气大变。其间他收到虎克来信，直接要求牛顿在书中承认自己的优先权。被激怒的牛顿在致哈雷的信中详细列举大量旁证显示他在虎克1679年那封信之前早已有了引力随距离平方成反比的观念，包括曾在1677年与雷恩的讨论。在痛斥虎克胡搅蛮缠之余，牛顿干脆将校对文稿中提及虎克之处几乎尽数删除。即使在一个无法回避之处，他也将原文中“非常杰出的虎克”改为“虎克”。最后，牛顿宣布他将扣下尚未交付的第三部分书稿，不予出版。
那时，《自然哲学的数学原理》的前两部分已经完成排版。它们系统阐述包括牛顿三定律的动力学，标题都是“论物体的运动”11。还在撰写中的第三部分——“论世界之体系”12——将结合万有引力，应用崭新的动力学全面描述太阳系中行星、卫星及彗星的运动，以及地球的形状、潮汐等物理现象。那无疑是全书最为精彩的点睛之笔。
哈雷于是不得不使出浑身解数扮演外交家和调解员。他遵循牛顿的嘱咐找雷恩求证，确认牛顿所言不虚。他一再向牛顿保证学会内部没有争议，都站在牛顿一边。经过百般抚慰，牛顿终于回心转意，在为自己的失态道歉后交出第三部书稿。在其中讨论引力作为向心力的细节时，牛顿不引人注意地以括号注解：“正如我们的同胞雷恩、哈雷和虎克曾经多次得出过的结论”。哈雷在排版时不动声色地将虎克的名字挪到自己的前面。
1686年，《自然哲学的数学原理》在伦敦问世。
按照当时习俗，哈雷为牛顿的新著写了一首热情洋溢的《颂歌》13。他将一本精装版奉献给国王，同时广为赠送欧洲各地的科学名流。一夜之间，《原理》不胫而走，成为学界独一无二的热点话题。
物理学由此进入一个新时代。
40年后，83岁高龄的牛顿与一位访客晚餐后在花园的苹果树下休息。他的思绪回到整整60年前。那时的牛顿刚刚大学毕业，为逃避瘟疫回到母亲家。也是在这样的一个花园里，他在静坐时看到一只苹果从树上落下。年轻的牛顿灵机一动，领悟到苹果之所以会落下而不是飞起，是因为地球在吸引着它。由近及远，他想到地球也会同样地在吸引着月球，世界上所有物体都在吸引着其它所有的物体……
牛顿终身未婚，没有子嗣。他的侄女婿也曾听老人讲过这个场景。“牛顿的苹果”栩栩如生，公开后脍炙人口，成为万有引力的象征。
没有人能够判断这个故事的真实性，那甚至包括牛顿自己。孤僻内向的牛顿习惯远离学界独来独往，却也屡屡引发争议。最突出的莫过于与莱布尼茨（Gottfried Leibniz）争夺微积分发明权的鏖战。相对而言，他与虎克的优先权之争只是一个不大的插曲。也许虎克的确最早想到引力随距离平方成反比。但他纯属猜测，既没有根据也没有能力像牛顿那样运用微积分等数学手段将这个简单思想转化为严谨的理论。正如哈雷所言，没有人支持虎克的主张，所谓争议随即烟消云散。然而即便他早已名垂青史，尽管虎克也已不在人世，垂垂老矣的牛顿可能依然耿耿于怀，还在脑海里搜寻甚至臆造对自己有利的证据：那个苹果落地的场景是远在虎克为引力问题来信的13年前。
那不是牛顿与虎克的第一个过节。1672年初，29岁的牛顿因为发明反射望远镜被接纳为王家学会成员。但在虎克看来，牛顿那时的一系列光学研究成果，14包括那个望远镜，都不过是在重复自己在《显微图谱》中描述过的成就。更遑论牛顿认为光由看不见的微粒组成，与虎克和惠更斯等人认为光是波动背道而驰。正是在那场时而尖锐、时而缓和的争执中，牛顿在1675年2月给虎克的信中写下“如果我看得更远，是因为我站在巨人的肩膀上。”15的名言。科学史家对这句话的理解也天差地别。作为后起之秀的牛顿可能是在功成名就的虎克面前表示谦逊，言中的“巨人”包括作为《显微图谱》作者的虎克。但也有人认为牛顿是在有意嘲讽，因为虎克身形矮小，显然无缘高瞻远瞩。无论如何，两人并没有因之交恶。仅仅三年后，虎克还会寄出那封私信与牛顿讨论引力。
其实后人对虎克的身材和相貌并不了解。虎克毕生只有过一幅肖像，曾经保存于王家学会，但在1703年的一次大搬迁中遗失。那时虎克刚刚去世不久，牛顿上任学会主席。也有人猜测肖像的失踪乃牛顿之有意无意使然。
今天的物理学生知道虎克，多半只是因为那个弹簧拉力大小与其被拉长距离成正比的“虎克定律”。生物学生可能知道他是第一个看到细胞并为之命名的人。二者都不属于重大发现，却已是一代大师青史留名的硕果仅存。
“天不生牛顿，万古如长夜。”16然而，假如哈雷没有在1684年顺道去剑桥拜访、向牛顿提出行星轨道问题，假如他没有在其后两年内锲而不舍地提议、鼓励、催促甚至哄劝，很难想象会有《自然哲学的数学原理》的诞生。牛顿很可能继续沉迷于炼金术和神学，无暇顾及他20年前对苹果、月球或行星曾经有过的暇思。哈雷的呕心沥血没有白费。作为学术著作的《原理》意外畅销，保证他的投资不至于亏本，尽管哈雷也没能在这本书的出版中牟利。
更大的收获来自近水楼台的便利。哈雷是牛顿动力学的第一位读者，也顺理成章成为牛顿以外应用这个新理论的第一人。酷爱航海的哈雷在出版《原理》的同时已经发表论文，运用牛顿动力学建立地球信风和季风的模型，并绘制出人类第一幅海洋信风分布图。哈雷也热衷于彗星，广泛搜集观测数据，利用牛顿提出的方法拟合彗星的轨道。他发现1682年的那颗彗星与开普勒曾在1607年观测的彗星的轨道重合，应该是同一颗。那颗彗星也在1531年出现过，其轨道周期大约为70来年。哈雷据此宣布它还会在1759年左右再度现身。
彗星果然在1759年如约而至，扫帚星从此不再神秘。牛顿的万有引力和动力学也在万众瞩目下得到确切的证实。那时，虎克、牛顿和哈雷均已作古。
今天的人们如果知道哈雷，必定是因为“哈雷彗星”的缘故。哈雷发现的只是那颗彗星的轨道周期。他并不是彗星本身的发现者。而他最具价值的发现却不为人所知。《自然哲学的数学原理》出版后，志得期满的哈雷曾经借助希腊神话以发现阿基里斯（Achilles）的尤利西斯（Ulysses）自诩。
他的确当之无愧。
主要参考资料：
Richard S. Westfall, The Life of Isaac Newton, Cambridge University Press, 1993. pp.37-60, 148-190.
Alan Cook, Edmond Halley: Charting the Heavens and the Seas, Clarendon Press, 1998, pp. 147-165，203-217
Steve Weinberg, To Explain the World: The Discovery of Modern Science, Harper, 2015, pp.215-255.
John Gribbin and Mary Gribbin, Out of the Shadow of a Giant: Hooke, Halley, and the Birth of Science, Yale University Press, 2017.
1577年时开普勒还是一个六岁的孩子，也曾亲眼看到过那时的彗星。
英国那时的历法与当时的欧洲和今天的通用历法不同，落后十天。下同。
The Mathematical Principles of Natural Philosophy
Curator of Experiments
Micrographia
On the Motion of Bodies in Orbit
严格来说，是包括椭圆、抛物线和双曲线的“圆锥曲线”轨道
这里采用的是比较通俗的表述，并非牛顿的原始版本。
universal gravitation
On the Motion of Bodies
On the System of the World
ode
If I have seen farther, it is by standing on the shoulders of giants.
语出英国诗人蒲柏（Alexander Pope）为牛顿撰写的墓志铭：“Nature, and Nature's laws lay hid in night； God said, Let Newton be! and all was light.”