量子纠缠背后的故事(卅六)

费曼的路径积分

当惠勒被玻尔临时抓差去研究原子核裂变时,他正和自己的学生在钻研一个有意思的课题:超距作用。

惠勒出生于美国的一个普通家庭。他父母都是图书馆职员,家里富有的就是藏书。15岁中学毕业时,惠勒争取到州政府奖学金进入约翰斯·霍普金斯大学。他选择的是工程专业,期望将来容易找工作。但上学不久,他在图书馆中翻阅到物理期刊,在几个老师的影响下迷上了新兴的量子理论,遂转学物理。

那时,约翰斯·霍普金斯还是一所成立才半个世纪的新学校,也是最早引入德国式强调科学研究的美国大学之一。它鼓励本科生参与科研,可以直升研究生院。惠勒在那游刃有余,本科入校后不久就开始发表论文,总共只用了六年就获得博士学位。那是1933年,新量子理论随着泡利“新约”综述的发表大功告成。那年年底,海森堡、薛定谔和狄拉克获得诺贝尔奖。其时还不到22岁的惠勒只比狄拉克小九岁。

毕业后,惠勒又赢得政府奖学金。他先在纽约大学做了一年博士后,再负笈海外到玻尔研究所继续深造。为了节省开支,他搭乘的是远洋货轮。那正是玻尔痛失大儿子后不久,研究所的气氛大不如前。即便如此,惠勒在那一年中依然大开眼界,亲眼目睹玻尔如何引导一群年轻人多方位开拓物理学的前沿。在那个熙熙攘攘的物理中心,他结识了来自世界各地的众多名家和后起之秀。

在玻尔的指导下,惠勒也成果甚丰,一年内完成了三篇论文。不料,玻尔却以不成熟为由直接“枪毙”了其中两篇。惠勒不仅没有失望,反而对导师更为尊敬甚而崇拜。他已经成为哥本哈根大家庭中的忠实一员。

回国后,惠勒顺利得到北卡罗来纳大学的聘请。三年后,他放弃已经到手的终身教授位置,在1938年秋季转入普林斯顿大学继续担任助理教授。那学期开学前,一个也是刚刚到校的研究生走进了他的办公室。


费曼(Richard Feynman)那年大学毕业,本来准备留校继续攻读博士。他是毫无疑问的佼佼者,作为本科生已经发表了两篇有影响的论文。然而,他所在的麻省理工学院虽然是与约翰斯·霍普金斯大学几乎同龄的年轻学院,却有着完全相反的政策。麻省理工希望自己的学生毕业后离开,去其它学校拓宽视野,体验不同的学习、科研环境。这让费曼很失落,他早已认定麻省理工是美国最好的学院。

费曼的导师正是那里的物理系主任、曾在玻尔手下吃过苦头的斯莱特。他爱才惜才,一边毫不留情地禁止费曼在自己学校继续读研究生,一边直接与普林斯顿大学的物理系主任联系,极力推荐。普林斯顿对犹太学生有着名额限制,但经不住斯莱特的软硬兼施终于接受了费曼。

费曼倒也觉得普林斯顿是麻省理工学院之外的最好选择。那里人才济济,拥有维格纳和冯·诺伊曼这样的物理、数学名师。高等研究院也设立在那里,有着刚刚来到的爱因斯坦。费曼希望能师从维格纳,普林斯顿便安排他第一学年担任维格纳的助教。

然而,当费曼来到普林斯顿报到时才发现他被临时调换,为一个从没听说过的新教授当助教。当他悻悻然地走进惠勒的办公室时更觉诧异,这个教授看起来就跟他一样的年轻。

惠勒看到费曼进来坐下后,从口袋里掏出一块怀表放在桌子上。这是他成为教授后培养的习惯,在与学生面谈时注意控制时间。两人商谈后费曼告辞。

几天后,他们再次见面时惠勒又照例掏出怀表。对面的费曼不紧不慢,也从兜里掏出一只新买的廉价手表,正正经经地放置在桌上自己一方。教授出乎意料,一时目瞪口呆。半晌,惠勒终于忍不住先笑出声来。两人随后都开怀大笑,无法再讨论正事。自那以后,这两个年龄相差不到七岁的小伙子不再拘泥形式,更像是一对师兄弟。

费曼也改变了主意,选取惠勒为他的学位导师。惠勒在北卡罗来纳大学的三年里已经培养过几个博士,却还从未遇到过费曼这样的学生。


费曼在麻省理工学院读本科时已经自己阅读了大量的经典著作,最崇拜的是逻辑简洁数学优美的狄拉克。他对狄拉克在《量子力学原理》书中最后一句话记忆犹新:“看来这里需要某种本质上的新物理思想。”1对费曼来说,这个让全书戛然而止的悬念比任何电影都更为惊心动魄。

狄拉克是在描述他那量子电动力学所遭遇的无穷大困难时无可奈何地以这么一个期望结束他的教程的。其实,那个问题并非量子理论所独有,它在经典电磁学中同样地存在。

一个多世纪以前,法拉第为了避免电磁现象中的超距作用引入了“场”的概念。带电的物体会在其周围的空间产生一个电场,以此与一定距离以外的另一个带电体发生作用。这个看不见摸不着的抽象概念经过麦克斯韦的数学描述和赫兹的实验证实在19世纪获得广泛接受。

这样一来,电子不再只是一个单纯的粒子。它的周围永远伴随着由它的电荷产生的电场。电子运动时会连带着改变这个电场,也就有着额外的惯性,叫做电子的“自能”(self-energy)。如果把电子看作是一个没有大小的点,它产生的场在那个点上有着无穷大的强度。相应地,电子的自能会是无穷大。

当然如果电子即使非常非常小也有着一定大小,那么就可以避免这个数学上的困难。还在具体计算中的自能只是作为“背景”出现,可以忽略而不影响结果。至少在经典电磁学中如此。

狄拉克发现他的量子方程也能忽略自能的影响,进而得出与实验相当符合的精确结果。但那却只是理论的最初级近似。如果精益求精地包括更高阶的修正,那么每个修正项中都有着类似自能的贡献而成为无穷大,导致这样的计算完全没有物理意义。这个荒谬的结果说明他的理论存在着致命的缺陷。他无计可施,只好求助于未来“本质上的新物理思想”。

新思想正是作为大学本科生的费曼之强项。他觉得电子产生的场反过来作用在自己身上很荒诞,类似逻辑上的循环论证。于是他认为只要硬性规定电子只能与其它电子作用,不能自己跟自己过不去就可以避免这一困难。在与惠勒的一次讨论间隙,他壮起胆子向新导师提起这个念头并陈述了自己已经做过的一些推导。

没想到惠勒当即告诉他洛伦兹早就发现无线电天线工作时存在“辐射阻尼”(radiation resistance),那正是电子产生的电场作用于自身的表现,已然被实验证实而毋庸置疑。他接着又不假思索地指出了费曼推导过程中的几个致命漏洞,让这个只是稍微年轻的学生佩服得五体投地。但更让费曼出乎意料的是惠勒并没有因此否定他这个显得稚气的想法,反而当场提出了能够弥补其逻辑缺陷的新思路。

费曼是后来才逐渐意识到惠勒并不是像他怀疑的那样自己事先也做过这些推导。有经验的导师完全可以凭借物理图像和直觉看出那些问题。但惠勒的确也曾有过同样激进的想法。

惠勒进入物理学时正是核物理大发展之际。中子、正电子的发现,介子概念的提出让原来很简单的微观世界突然变得繁杂无序。他觉得如果假设质子、中子等等都是由最简单的电子、正电子组成,就可以大大简化。然而,如果中子由电子和正电子组成,它们就会有着卢瑟福原子模型同样的困难,不可避免发生辐射而不稳定。费曼的幼稚想法引起了他的共鸣。如果只是这些粒子之间有直接的相互作用,中间却没有那作为媒介的场,那么就不再会有自能、辐射这些困难。

于是,惠勒带着费曼一起进入了他称之为“一切都是粒子”(everything is particles)的新世界。在这个世界里,没有场、没有波,只有电子、正电子这样的粒子。它们可以相隔很远地发生相互作用。但他们这个超距作用不像爱因斯坦的那般鬼魅。它不是瞬时发生,而是如麦克斯韦方程描述有着时间上的滞后,不违反相对论,也不会与已有的理论冲突2

虽然惠勒在哥本哈根待的时间并不长,他已经对玻尔的风格耳熟能详,也经常刻意地模仿。无论是在北卡罗来纳还是普林斯顿,依然年轻的他身边总会有许多更年轻的学生。他的脑子里时时刻刻会出现各种荒诞念头,总是急不可待地与学生分享。在他后来几十年的教学生涯中,几代学生都异口同声地标榜他们的老师是个“疯子”,并引以为傲。

费曼住在学校的研究生宿舍,只在大厅设有公用电话。惠勒经常会没日没夜地打电话找他商讨。爱促狭的费曼便在这头唯唯诺诺地回应,假装对方是爱因斯坦教授,让他的同学们深信他日常性地在与国际大师探讨科学难题。

一个晚上,惠勒又极其兴奋地来电话:“费曼,我终于明白为什么所有电子都有着相同的质量、电荷了!”费曼赶紧问那是怎么回事。惠勒答,“因为,它们就是同一颗电子!”在他那突然大开的脑洞里,电子既可以随时间从过去走向未来,也能逆着时间从未来穿越回到过去。同一颗电子这么没完没了地来回穿梭,每次经过不同的空间位置。这样在任何一个时间点,我们能观察到空间中到处都是电子,近乎无数。那其实就是在顺着时间跑的同一颗电子。至于那些同时也在逆着时间跑的,就是我们看到的电子背面:正电子。懵懵懂懂的费曼倒没有让导师完全绕糊涂,他问道,“可是大教授,并没有与电子数目相当的正电子啊?”惠勒不在乎这个细节,只搪塞说也许正电子还都藏在质子内部。

惠勒不仅具备玻尔那思想活跃不拘一格的一面,还类似地不擅长数学演算。那也是费曼的专长。从中学到研究生院,他总是以能得心应手地计算各种繁复的积分著名。在惠勒的指导下,费曼很快理清了他们“延迟的超距作用”背后的数学,证明那是一个逻辑自洽的体系,可以与传统的麦克斯韦理论分庭抗礼。

兴奋的惠勒立即在系里安排讲座,让费曼自己上台讲解。主持的维格纳专门邀请了冯·诺伊曼、泡利、爱因斯坦等名家出席。那还是费曼第一次上台,不禁忐忑不安。惠勒和维格纳自然是一番安慰、打气。泡利还是泡利,他立即指出这个理论肯定无法成立。但他倒也没忘了客气地征询爱因斯坦的意见。爱因斯坦慈祥地回应,不,这个理论看起来有着合理性,只是与引力可能不合拍——他还只是惦记着自己的统一场论。年轻的费曼大松一口气。

他们这个新理论还只适用于经典的电磁作用。惠勒告诉费曼下一步的量子化不过举手之劳。他预定了下一场讲座时间,准备自己动手完成后就宣讲。泡利却私下告诉费曼他的导师只是在说大话。这次,他猜得没错。惠勒无法找到量子化的途径,不得不取消了讲座。

如何将经典的理论量子化那时候已经有了一套现成的程序。惠勒在掉以轻心后才发现他们的新理论极其地不传统,无法按既定方针办。泡利却在讲座中一眼就看出了这个问题。

费曼只好自己另辟蹊径。一天晚上,他郁郁寡欢地来到镇上小酒馆喝酒,不期相遇一位刚从欧洲逃难过来的物理学家。那人告诉他狄拉克曾经写过一篇论文,用拉格朗日量描述量子系统,可能对他有帮助。第二天,他们一起跑进图书馆,在一本不那么知名的刊物里找出那篇没人留意过的小论文。


牛顿的经典动力学有着一个非常直观的物理过程:一个物体处于某个位置,受着一定外力作用。外力造成的加速度和物体本身的速度一起决定它在下个时刻会处在的位置。那里的外力再度施以加速度,改变其运动方向、速度。这样,物体在外力牵引下一步一步从起点走向终点。它的轨迹由初始的位置、速度和沿途所受的外力完全确定。无论是我们手里抛出的石头还是绕着太阳公转的地球,它们都如此这般地运动着。

为了这样逐步地推算物体的运动轨迹,牛顿专门发明了微积分作为数学工具。但在18世纪,欧拉、拉格朗日等数学家发现另外一个窍门,可以省略这个渐进的步骤。他们把物体在每个点上所受的力改换成空间分布着的势场,物体在这个场中的运动轨迹就是一个简单的极限选择:一条能让一个叫做“作用量”(action)的物理量有着最小值的曲线。这就是“最小作用量原理”。

物理学家对这样的原理并不陌生。费马(Pierre de Fermat)在欧拉的一个世纪前就总结出“费马原理”(Fermat's principle):光线在反射、折射时走的是花时间最短的路径。最小作用量原理是费马原理在力学中的延伸,也是一个普适的规律。当爱因斯坦发明狭义相对论时,普朗克便立刻去证明了这个奇异的新理论满足最小作用量原理。

欧拉和拉格朗日的描述与牛顿方程完全等价,只是数学上更为清晰、便利。但它也带来一个有意思的新视角:物体不再是如牛顿所描述一步步被外力牵引从起点到达终点。它似乎是在仔细勘测了两点之间所有可能的途径后“选择”了作用量最小的那一条“理想”捷径。

也许是出于数学上的好奇,狄拉克也试图构造了量子力学中的拉格朗日描述。他在论文中指出这个作用量在经典和量子世界之间存在着直接的类比。费曼对这个语焉不详的描述发生了浓厚兴趣,当即在图书馆的一块黑板上进行了演算,发现所谓的“类比”就是简单的正比关系。由此,他找到了将他和惠勒的电动力学量子化的途径。

在量子世界里,粒子可以同样地勘测起始两点之间所有可能路径的作用量。但它不再只是选取作用量最小的那一条而对其它路径视而不见。这时,所有的路径都对粒子的运动有着贡献,其大小取决于那条路径的作用量。

或者说,粒子还是在按照作用量的大小选择路径。作用量越小的路径“获选”的可能性越大。作用量大的路径被选上的几率很小,但也不再是零。

这样,粒子的运动便是这所有可能性的总和或平均。因为这样的路径数目无限地多,这个加法其实是一个积分。费曼把它称作“路径积分”(path integral)。

这依然是他们那个“一切都是粒子”的世界,没有场也没有波。但因为不同路径的可能性是一个复数,它们相加时也不是简单的累计,而是有时相互叠加,有时互相抵消。这样,它们也会在结果中自然地出现类似波动的干涉、衍射图像,与薛定谔的波函数无异。

正如最小作用量原理与牛顿动力学方程等价,费曼也证明了他的路径积分与薛定谔方程完全等价,是继矩阵、波动之后量子力学的第三个表述。

惠勒深为折服,只是不满意费曼所用的那个平平淡淡的名字。惠勒自己把这个量子力学新表述叫做“对所有历史求和”(sum over histories)。在他看来,费曼的发现表明量子世界的粒子的确是在仔细勘探了每一条可能的路径,才依照作用量的权重决定其运动状态。这相当于粒子在每条路径上都已经走过,具备所有路径的全部“历史”知识。

以这个眼光再去看那曾在索尔维会议上让爱因斯坦、玻尔等人绞尽脑汁的双缝实验似乎便可以豁然开朗:光子、电子在运动时已经有了从源头到屏幕所有路径的历史信息,所以它们的确“知道”有着两条缝隙的存在,故而可以在屏幕上形成干涉条纹。它们并不是单纯地从某个缝隙中通过。

假如在缝隙的背后设置障碍或测量仪器,那么光子、电子所掌握的历史即被改写。它们求和而得到的运动便会截然不同,不再有双缝的干涉条纹出现。

有了这一重大进展,惠勒带着费曼兴冲冲地来到爱因斯坦居住的小楼。这已经不是他们第一次来这里了。爱因斯坦很喜欢这一对朝气蓬勃的小字辈,总是热情、耐心地接待他们。他俩向大师详细地介绍了这个量子力学新表述,强调这是经典物理的自然延伸,不像海森堡的矩阵、薛定谔的波函数那么突兀、人为。惠勒满怀期望,这是否足以说服爱因斯坦改变他对量子力学的深刻抵触?

爱因斯坦却一眼看穿费曼只是把量子力学中的随机性从波函数转移到路径的选择上,并没有本质不同。他悠悠地作答:“我无法相信上帝会掷骰子,但也许我已经赢得自己犯错误的资格了。”

(待续)

系列目录

1

It seems that some essentially new physical ideas are here needed.

2

因为时间方向的对称性,他们的理论中也有着“超前”的相互作用。