量子纠缠背后的故事(廿七)

狄拉克的方程

爱因斯坦在1911年参加第一届索尔维会议时虽然年龄最小、才刚刚被正统学术界接受,但他已然以狭义相对论、光电效应、布朗运动等成就闻名遐迩,并不是一般的新手。1927年会议上最年轻的狄拉克还没有那么显赫的声望。在那场女巫盛宴上,他只是一个极不显眼的小巫,以他特有的安静、木讷作壁上观。

最引人注目的两大巫婆爱因斯坦和玻尔在会下、会上激烈但友好的针锋相对让年老的郎之万忧心忡忡,中年的埃伦菲斯特彷徨失措,年轻一代的海森堡、泡利兴奋莫名。狄拉克却只觉得兴味索然。

海森堡发现不确定原理时,狄拉克正以他独创的量子力学数学形式获得剑桥的博士学位。他没有觉得这个轰动一时的新发现有多大意义。不确定原理来自假想试验的推测,其背后的数学基础只是一个设定下限的不等式。那在狄拉克眼中不属于严格的方程式,意思不大。当他来到哥本哈根时,正赶上玻尔在兴致勃勃地发明互补原理。狄拉克更觉得不可思议:那互补原理完全是不知所云的泛泛而谈,压根写不出一个数学方程来。

对年轻的狄拉克来说,只有严格、优美的方程式才是真实的科学。

玻尔和爱因斯坦的争论始终围绕着一连串的假想试验,几乎不涉及数学推导,故而引不起狄拉克的兴趣。让他不满乃至烦躁的却是爱因斯坦不断地在以上帝的名义调侃量子力学中的随机性。早在玻恩提出波函数的几率诠释时,爱因斯坦就针对这一违反因果关系的解释写信抱怨“上帝不会掷骰子”。那之后,他对这句机灵的反诘情有独钟,屡屡以此一句抵万句地戏谑。就连一向忠厚、耐心的玻尔也忍无可忍,反击道:“爱因斯坦,别再告诉上帝该不该做什么。”

私下里,惜言如金的狄拉克破天荒地大放厥词,滔滔不绝地向海森堡和泡利论述了一番宗教、上帝之不值一哂。诧异中的泡利总结道:狄拉克有着他自己的宗教信仰,那就是“上帝不存在,狄拉克是祂的使者”。

在会议最后的自由讨论中,狄拉克也得到一个短暂的发言机会。言如其人,他讲述的是又一个自己新创的数学语言,得以解决了爱因斯坦曾经花费十年光阴也没能找到门路的老问题:电磁场的量子化。


在爱因斯坦试图将麦克斯韦方程组量子化功败垂成后,薛定谔另辟蹊径,利用德布罗意的物质波概念发现了波动方程。量子力学因此有了与牛顿力学相似的微分方程表述。但也与牛顿的动力学一样,薛定谔方程只适用于有质量的粒子,对没有质量的电磁波或光子依然束手无策。

玻尔和爱因斯坦在索尔维会议上讨论双缝实验时不再刻意区分实验中使用的是电子还是光子,因为他们都已经确信这两个微观世界的物体具备同样的波粒二象性,会有着同样的量子行为。然而,电子的状态演化可以由薛定谔的波函数描述,光子却还依旧停留在麦克斯韦的经典图像中。它们并没有统一的数学语言。

所以,当爱因斯坦绘声绘色地描述一个球形的波函数如何在某一个点突然坍缩时,他所依据的还只是电子的波函数。虽然光电效应、康普顿散射已经证明了局域性光子的存在,光却还没有一个能像电子那样坍缩的波函数。

狄拉克弥补了这个明显的缺陷。

与海森堡难以理解的矩阵相比,薛定谔一直以他的微分方程所能提供的直观物理图像骄傲。他的方程也因此立即得到广泛接受,取代矩阵力学成为新量子理论的首选数学形式。可是,他的波函数之简洁却也只出现在单一粒子的情形中。海森堡在求解有两个电子的氦原子时就发现其波函数必须扩展为六维希尔伯特空间的函数。虽然那在数学上依然直截了当,波函数却已经抽象化,不再具备直观的特点。这个复杂性还会随电子数目急剧增加:研究铀原子就不得不构造一个高达276维的希尔伯特空间来描述它拥有的92个电子。

尽管抽象、繁复,电子毕竟还是可以逐一跟踪的“粒子”。它是既定的存在,既不会无中生有也不会平白无故地消失。光子则不同。光可以在划着一根火柴、拧开电灯开关时突然出现,也经常在被物体吸收中消失于无形。显然,为这样来去无踪的每一粒光子构造专门的波函数极不现实,更没必要。

薛定谔的方程和波函数却都是以个别的电子为出发点。当每颗电子所处的量子态及其演变均被准确描述后,整个系统的状态和变化也随之昭然若揭。这个思路沿袭了牛顿的经典力学传统,没有实质性区别。

然而,印度小伙子玻色早就意识到量子世界有着特殊的物理规律。微观的粒子彼此之间不可分辨。处于不同量子态中两个电子如果互相交换,不会引起系统状态任何变化。狄拉克早就发现,为了体现这一特性,薛定谔的波函数必须具备合适的对称性:两个玻色粒子坐标交换时波函数的数值完全不变(对称);两个费米子坐标交换时波函数的数值也不变,但其正负号会颠倒(反对称)。1这样一来,多电子的波函数更是愈加复杂,无法直观地想象。

为了摆脱这个缺乏简洁、美感的困境,狄拉克灵机一动。既然系统的状态不因电子之间的交换而变,也就没有必要去追究哪一颗电子处于哪个量子态中。反过来,只要知道哪些量子态中有着电子——无论是哪颗电子——就已经完全了解系统的状态。

这样,系统状态的改变无非就是某个原来没有电子的态出现了电子,或者原来被占据的态失去了电子。因为电子的总数是一定的,一个电子消失的事件必然会同时伴随着另一个电子出现的事件。

这正是玻尔当年原子模型中一颗电子在不同能级之间的“跃迁”。电子这个自发、自主的运动曾经让从卢瑟福到爱因斯坦的物理学家纳闷:电子如何能够知道要从哪里跳到哪里?在狄拉克的眼里,这个物理过程其实只是电子在量子态中数目的变化,不再涉及电子的实际运动。

为了方便描述,狄拉克创造出一套新数学语言,用不同的算符分别表示电子在量子态中的“产生”和“湮没”。描述一个系统状态的不再是一个复杂的波函数,而是一连串的“产生”算符。它们从一个空空如也的“真空”中生成了电子,让它们处于相应的量子态中。系统状态的演化便也由后续的产生、湮没算符调整量子态中存在的电子数目来完成。

这样,他的算符语言不仅能新颖、简洁地描述电子,也能同样地描述无质量的光子。不同的只是光子是玻色子,不受泡利不相容原理限制。同一个量子态上最多只能有一颗电子,却可以有着任意数目的光子。光子的总数也不恒定,可以任意地产生、湮没。

由此,狄拉克统一了电子和光子的量子理论,不再需要花开两朵各表一枝。

他更可以在一个物理系统中同时描述电子和光子,以及它们之间的相互作用。电子在某个低能量态上湮没、而在某个较高能量态上产生时会伴随着光子的湮没。那便是过去所说的光子被电子吸收而使得电子向高能级跃迁的过程。反之亦然:电子在高能态上消失、低能态上出现时伴随着光子的产生,即光的发射。

狄拉克欣喜地看到这个新理论中十分自然地出现了爱因斯坦十年前只能凭空假设的电子与光子相互作用的三个途径:自发辐射、受激辐射和受激吸收。这说明他的新理论并不只是一次数学形式上的简化、优化,而是揭示了新的物理。他不仅证实了爱因斯坦当年的高瞻远瞩,还得以不做任何假设地计算出那每个过程发生之可能性。因此,他第一次完完全全地从原理出发推导出普朗克的黑体辐射定律——那朵在世纪初逼迫普朗克做出量子革命“绝望之举”的大乌云。


在索尔维会议上,狄拉克言简意赅的介绍没有引起众人对他新理论的注意。在与玻尔激辩之后,爱因斯坦又恢复了他安然端坐沉默不语的优雅。当年,他只是为了热平衡的需要不得不引进自发辐射的概念,还专门强调那是他的理论最大缺陷所在。这个典型的“上帝掷骰子”行为现在被狄拉克纳入了量子力学的正统,还给出了计算掷骰子结果的精确方式。这大概让爱因斯坦在内心中哭笑不得。

狄拉克在会议上所讲的其实是大半年之前他还在哥本哈根时就已经完成的理论。那时他在波尔研究所为时半年的访问正接近尾声,已经相继提出了量子力学的变换理论和费米-狄拉克统计,可谓硕果累累。但他那茕茕孑立、沉默寡言的性情和对数学语言的一往情深在很大程度上限制了他物理思想的传播。他的理论被当作纯粹的数学游戏而不被理解、重视,甚至不为人所广知。

识人无数的玻尔始终也没能真正接近这个“最奇葩”怪人。在哥本哈根,狄拉克是唯一不会被玻尔时常拉差充当他反复斟酌论文、讨论问题的听众和记录员的小字辈。玻尔不是没有尝试过,但在领教了狄拉克时不时冒出的尖酸回应后只好放弃了这个念头。

在狄拉克即将离开的1926年年底,玻尔邀请这位孤身在外的小青年到家里共度圣诞节。从小因为父亲专横跋扈而没有过家庭温暖的狄拉克非常感动。玻尔对事业和家庭的兼顾、严格又忠厚善良的品格在年轻的狄拉克心目中留下了深刻的印象。

1927年初,狄拉克离开哥本哈根,按原计划前往哥廷根访问半年。玻恩和约旦在那里完成海森堡的矩阵力学后,哥廷根成为仅次于哥本哈根的量子力学圣地,与玻尔研究所一样吸引着世界各地的青年才俊。狄拉克在那里与也刚到哥廷根、同样不合群的美国纨绔子弟奥本海默(Robert Oppenheimer)交上好朋友,经常一起出门远足。但除此之外,他依然独往独来,没有介入当地的朝气蓬勃。尤其是与在科研上走得最近的约旦,他只有着泛泛之交。

1927年初,玻恩(中坐者)在哥廷根家中与他研究组成员合影。狄拉克(右二站立者)自顾自地手不释卷。站立者左四是奥本海默。

约旦在变换理论上曾先于狄拉克拔得头筹。那时狄拉克还不知道约旦也在他和费米之前就提出了费米-狄拉克统计,只是因为玻恩的疏忽而痛失优先资格。同样精于数学的约旦在量子力学领域的研究与狄拉克始终亦步亦趋,却总是稍微走在前头。直到这个以算符为代表的新辐射理论,狄拉克才开始超越比他还更年轻两个月的约旦,第一次有了自己的首创性成果。

也只有约旦当即就领悟了狄拉克这套新语言背后的深层含义。

早在19世纪,法拉第提出电场和磁场的存在,分别作为那捉摸不透的超距电磁作用之媒介。麦克斯韦随后统一了这两个相互作用,以严谨的数学方程描述电磁场,并预测了电磁波。经过赫兹的实验证实,抽象的场得到普遍接受,成为物质存在的一种形态。电磁波是电磁场的波动,如同水中荡漾的水波或空气中振荡的声波。光也是这样的电磁波。

这个简单的图像却与爱因斯坦揭示的波粒二象性不合拍,因为那纯粹的波动中不存在粒子的踪影。在狄拉克的新理论里,场是决定量子态的物理背景。而粒子则是场的激发态,随着产生、湮没算符随时随地出现、消失。所以,光子既不是爱因斯坦那被鬼场牵引着的物理粒子,也不是德布罗意想象中导航波头的弄潮儿。光子只是电磁场的激发态。它们的存在和处于各个态中的数量分布表达着电磁场所处的状态。

因为电磁场、电磁波的存在早已是定论,狄拉克的这个描述也并非惊世骇俗。然而,他进一步指出电子与光子没有本质区别,同样地不过是一个潜在“电子场”的激发态。电子与光子一样可以随时随地产生、湮没,只是它们的总数保持守恒并服从泡利不相容原理。

可能出于这是在海森堡、薛定谔量子化过程之后进一步发展的考虑,狄拉克将这个新理论叫做“二次量子化”(second quantization)。2约旦更为敏锐地意识到狄拉克的创新在于将一直还在“波乎?粒子乎?”的怪圈中挣扎的量子力学推进到“量子场论”(quantum field theory)的新阶段。如同拉格朗日、哈密顿等人在一二百年前将牛顿的动力学改写成更具备数学规范的经典场论,约旦坚信狄拉克的新思路代表着量子理论的未来。

但在哥廷根,狄拉克和约旦都没能说服导师接受这一观点。已经人到中年的玻恩对他们这一激进思想兴趣缺缺。在索尔维会议上,狄拉克也没能让那些久经沙场的大师们领会他的眼光。他那套自己发明的抽象、怪异的算符语言在他们看来只是年轻人在耍弄数学游戏,不具备物理意义。3

直到很多年后,狄拉克的新数学才逐渐被物理学界接受,成为量子力学的标准语言。


索尔维会议召开时,狄拉克已经结束了在哥廷根的访问,回到母校剑桥任教。玻尔已经有大半年没见过这个无法理喻的年轻人。在会上他好奇地询问狄拉克那时正在忙着啥。狄拉克回答:相对论量子力学。玻尔讶异地会问:克莱因不是已经解决这个问题了吗?

量子是研究微观世界的物理学。那里物体质量微小,引力、广义相对论都可以忽略不计。但索末菲早在玻尔刚提出最初的原子模型时就指出电子的运动速度相当快,狭义相对论效应不可忽视。由他推广的原子模型实现了量子力学与相对论的珠联璧合,完美地解释了氢原子光谱的精细结构。

从那时起,相对论——至少狭义相对论——与量子理论难解难分,齐头并进。当德布罗意提出物质波时,他的出发点也是狭义相对论,以至于他那个本来简单明了的概念变得复杂难懂。他的导师郎之万不得不求救于爱因斯坦。就连数学上得心应手的薛定谔也是在爱因斯坦的指点下才领会了德布罗意的思想。

因此,当薛定谔在滑雪场旅馆里为德布罗意的波构造波动方程时,他的出发点自然地包含了狭义相对论。不料,当他在外尔的帮助下得出方程的解时却始终未能重现氢原子的光谱。经过一番无果的努力,薛定谔只好诉诸于简单化,在方程中略去了相对论效应。这样,他一举获得了能准确计算氢原子光谱的薛定谔方程。在那之后他一连发表六篇论文,系统地阐述了他的波动理论及其与海森堡矩阵力学的等价性。然而他却没有想起也顺带那个包含相对论效应的波动方程。那对他来说那只是一次失败的尝试。

薛定谔的波动方程与矩阵力学一起掀起了新量子理论的浪潮。在那激动人心的时刻,很少人注意到这个新理论其实只能计算氢原子的基本光谱线,对谱线中的精细结构却无能为力,还不及十年前的索末菲原子模型。

因此,即使是在索尔维会议上信誓旦旦宣布量子力学已经胜利完成的海森堡和玻恩也不得不承认相对论是现有理论的最大欠缺之处。

就在索尔维会议之前,玻尔的前助手克莱因与当初在柏林大学通告爱因斯坦泡利证明了波动和矩阵力学等价的戈登一起发现了包括狭义相对论效应的波动方程形式。他们和玻尔都不知道那其实就是薛定谔早已写在笔记本中但从未公开发表的方程式。它依然无法推算出氢原子光谱的精细结构。

其实,相对论也并不是新量子力学的唯一缺陷。薛定谔在1925年年底与红颜知己上山滑雪时,他还不知道荷兰的古德斯密特和乌伦贝克正在说服爱因斯坦和玻尔接受电子有自旋的新概念。自然,无论是他的波动方程还是海森堡更早的矩阵中都没有自旋的存在。

与地球的自转相似,自旋显然是一个粒子才有的运动形式,似乎无法在非局域的波动中出现。其实,麦克斯韦电磁波不仅仅携带着能量和动量,也能传输角动量。这个“旋转”性质来自电磁场振动的不同模式,叫做“偏振”(polarization)。根据玻尔的对应原理,这种经典波动的角动量便可以对应于光子的自转。4

然而,薛定谔用于描述电子的波动方程、波函数却不存在这样的角动量。因为电子的自旋只有两个分立的数值,泡利曾试图将它以矩阵的形式引入波动方程,构造出一个带有自旋矩阵的薛定谔方程。

受泡利的启发,狄拉克干脆把电子的波函数一分为二,成为有着分别描述两个自旋方向分量的矩阵。由此,他构造出一个有机地整合自旋和狭义相对论的新波动方程。它不仅简洁优美,还能够准确地计算出氢原子光谱的精细结构。新量子力学终于不再落后于索末菲那简单的旧量子模型。5

1928年元旦,第五届索尔维会议结束两个月后,福勒将狄拉克的论文提交给英国王家学会。那时的剑桥依然是量子的荒蛮边陲。除了他这位前导师和达尔文,没有其他教授懂得量子力学。不显山不露水的狄拉克也没有声张,所以他的同事们对他的新突破一无所知。

但在海峡对面的欧洲大陆,他的论文立刻就引起广泛且巨大的反响。也在这个难题上埋头苦干的约旦看到后目瞪口呆,知道他再也无法与狄拉克比肩。海森堡五体投地,对人声称今后不再有与狄拉克竞争的必要。哥廷根的玻恩、哥本哈根的玻尔更是再一次对这个奇葩的年轻人刮目相看。

“狄拉克方程”不仅是狄拉克本人,也是1920年代量子力学登峰造极之作。它的出现标志着电子、光子运动和相互作用的完整描述——“量子电动力学”(quantum electrodynamics;简称QED)——的诞生。

(待续)

1

系统状态取决于波函数的绝对值平方,不受正负号变化的影响。

2

这个名称其实不恰当,量子化并没有一次、二次之分。

3

早年曾率先提出以波作为粒子的引导,却惨遭玻尔和克莱默劫持、异化为那篇臭名昭著BKS论文的斯莱特这时在剑桥也在狄拉克的导师福勒指导下做出了同样的结果。即便如此,斯莱特也没能理解狄拉克的数学形式。

4

如爱因斯坦在荷兰时对古德斯密特和乌伦贝克所言,自转只是一个量子态,并不是粒子真实的物理转动。因此不需要操心微小粒子的转动时会超越光速。

5

薛定谔最初的相对论方程无法得出氢原子光谱便是因为它缺少了自转因素。那个方程被克莱因和戈登重新发现后被称作“克莱因-戈登方程”,后来被用来描述没有自转的基本粒子。