量子纠缠背后的故事(二十)

狄拉克的变换

1926年也是量子力学不寻常的一年。

那年年初,玻恩在他正在访问中的美国波士顿收到来自英国剑桥的一篇论文,为海森堡的矩阵理论提出一个新颖的视角。他觉得非常地意外,因为那时他与约旦、海森堡合著的“三人论文”尚未问世,应该还没有人能明白那怪异的矩阵力学。那篇论文的作者是剑桥的研究生狄拉克,一个从未没听说过的名字。

自从玻尔谢绝卢瑟福的聘请后,剑桥不再拥有一流的量子理论学家,淡出了由海峡对面慕尼黑、哥廷根和哥本哈根金三角主宰的新天地。海森堡完成第一篇矩阵论文后曾到剑桥短暂访问,他没有在讲座上提及自己这个新发现。也不知道狄拉克是否与他碰过面。

狄拉克出生于英国西南的海滨城市。他父亲却是瑞士人,在当地中学教法语。作为第一代移民,父亲极为苛刻,强迫孩子们只能以法语与他交谈,稍有差错就会受到严厉的惩罚。在能够以法语会话之前,狄拉克和他哥哥、妹妹只能与母亲一起像仆人似地躲在厨房里吃饭。

聪明的狄拉克是三个孩子中最先学会法语的,因此被恩准上桌子与父亲一起进餐。但既为了避免犯错被惩戒也是作为抗议,他在餐桌上绝口不说一句话。

父亲的专横对孩子们造成了极大的心理伤害。他们几乎在与世隔绝中长大,家里从来没有客人,自己也没有朋友。后来,狄拉克的哥哥在25岁时自杀。那时狄拉克已经是剑桥的研究生,正处于事业起飞的前夜。

因为家境贫寒,他们兄弟俩中学毕业时都在当地大学修习实用的工程专业。然而事与愿违,他们毕业时遭遇第一次世界大战后的经济萧条,没能找到体面的工作。狄拉克又回学校从头开始学习应用数学。那精确、简练的数学语言立刻让他折服,从此一生追求如何用数学——也只用数学——描述自然界。爱丁顿日食测量证明广义相对论的轰动效应也把他的注意力吸引到物理领域。

他的努力终于得到回报,赢得一项奖学金去剑桥攻读博士学位。

孤独中长大的狄拉克不具备基本的社交能力。在剑桥,他过着独往独来、规律得如同机器人的生活。星期一到星期六是他学习的日子。他每天按时起床,步行到学校用功。晚饭再出去散步。星期天,他带上午餐到郊外四处游走。那是他放松大脑,不再思考学业的一天。

英国大学的传统是学生以自学为主,由导师提供一定的指点。狄拉克因此在剑桥如鱼得水,学业急速长进。他的导师是卢瑟福的女婿、物理教授福勒(Ralph Fowler)。

福勒也是剑桥唯一能勉强跟上量子理论蓬勃发展的理论家,曾在海森堡来访时私下谈论过他的新进展。应福勒的要求,海森堡拿到论文的校样后就给他寄了一份。福勒又随手将它转寄给度假中的狄拉克,让他这个沉默寡言却聪明绝顶的学生先睹为快。

狄拉克读了后没觉得海森堡那复杂的数学背后有什么实际意义。直到十来天后的一个星期天,他照常在野外暴走、不应该考虑科学问题时,脑子里突然不听话地浮现起论文中不起眼的一小段。

海森堡坐在海岛巨石上等待日出时意识到他刚刚发明的列表计算有个毛病:两个表相乘的结果与它们的顺序有关。在普通代数中,加法和乘法是“对易”的:2加3等于3加2;2乘3也等于3乘2。减法和除法不对易:2减3不等于3减2。在他的新法则里,两个列表相乘时如果彼此交换顺序却会有不同结果,违反了乘法的对易性。

他直觉十分荒唐,只好在论文中很不好意思地指出那可能会是新理论的隐患。

狄拉克在他的数学研究中早已见到过不对易的乘法,不觉得会是个问题。但他不知道那也正是剑桥前辈凯利发明的矩阵代数的一个特征。他更不知道玻恩和约旦已经发现海森堡的矩阵力学中,代表位置与动量的矩阵相乘时不对易。它们不同顺序的乘积之差正好与普朗克常数成正比,说明那是一个经典物理中不存在的量子现象。

狄拉克只是隐隐觉得这个位置与动量乘法的非对易关系似曾相识,却想不起来在哪里见过。那天晚上,他破天荒地烦躁,一夜无眠。好不容易挨到早晨图书馆开门,他冲进去查阅经典力学的大部头著作,果然找到有一种叫做“泊松括号”(Poisson bracket)的数学构造。它在形式上与海森堡的不对易性颇为相像。

牛顿的动力学以“力”为中心。在普通物理中,力通常被定义为“物体之间的相互作用”。那其实是一句没有意义的空话——力也是一个看不见摸不着的假想概念。牛顿之后,一些数学家试图将他的动力学脱胎换骨,代之以更严谨的数学描述。在欧拉(Leonhard Euler)、拉格朗日(Joseph-Louis Lagrange)和哈密顿(William Hamilton)等人长达一个世纪的持续努力中,经典力学终于被彻底改写,有了更具普遍意义的数学形式。

在这个新的表述中,力被势能取代。物理体系及行为由其动能和势能所组成的“拉格朗日量”或“哈密顿量”描述。薛定谔构造的波动方程便采用了含有哈密顿量的形式。

泊松括号是法国数学家泊松(Simeon Poisson)在这个体系中发明的一个表达方式,用以构造所谓的“正则坐标”(canonical coordinates)。它其实与海森堡的非对易乘法没有关系。

但狄拉克却敏锐地看出其中一个奇异的联系:海森堡的矩阵力学与哈密顿式的经典力学并没有太大差异。如果将经典力学中的泊松括号重新定义为含有普朗克常数的数值,就可以直接“量子化”为海森堡的力学。

这样,狄拉克在经典物理和量子物理之间架起一座桥梁,也终于为玻尔那喋喋不休却捉摸不定的对应原理提供了一个数学基础。

与他的风格相符,狄拉克据此而作的博士论文有着言简意赅的标题:《量子力学》。那是有史以来第一部以量子力学为题材的学位论文——量子力学这时还未满周岁。

顺利赢得博士学位后,狄拉克又获得一份奖学金。在福勒的建议下,他决定留洋深造,到正在成为量子力学圣地的哥本哈根和哥廷根镀金。


1926年10月1日,玻尔在火车站接到了应邀来访的薛定谔。这还是他们俩的第一次见面。玻尔却没有心思客套,一碰头就忍不住向薛定谔发出一连串的诘问。

曾几何时,玻尔的原子模型揭开了量子理论的序幕。十年之后,他的电子轨道、量子跃迁等新概念已经被海森堡、薛定谔更新的理论撕扯得支离破碎,被不客气地划入“旧量子理论”。取而代之的“新量子理论”便是矩阵、波动以及狄拉克那还没人看懂的新力学体系。

虽然薛定谔已经证明了矩阵与波动力学在数学上等价,他和海森堡的分歧不仅没有消失,反而日益尖锐。在收到海森堡怨气满腹的来信后,玻尔邀请薛定谔来面谈,期盼能达成共识,将苏黎士的这位游侠也纳入自己的金三角阵营。

在自然科学中,物理学是最数学化的精确科学。无论是牛顿力学还是麦克斯韦电磁学,乃至爱因斯坦相对论,它们都已各自的方程式引领风骚。只要有了需要的方程,加之必要的边界条件,一切相关的物理问题均可迎刃而解。

薛定谔正是这样听从德拜的建议为德布罗意的波动找到了方程式。但他没料到这却带来更大的麻烦。如何理解那作为方程主体的波函数在物理学家中莫衷一是。可能是物理学史上第一次,严谨的数学语言不足以描述物理现象,需要外加辅助性的“诠释”。

薛定谔不能认同玻恩的几率诠释。他坚持波函数就是粒子的实在分布,运动是连续的波动过程而不存在所谓的量子跃迁。在哥本哈根的那几天里,玻尔日日夜夜地跟随在他旁边,就这个问题没完没了地“讯问”。终于,薛定谔病倒卧床不起。玻尔夫人玛格丽特精心照料,为他端汤送水。玻尔却还是固执地坐在床头,一个劲地探寻:“可是,薛定谔,你不可能真的会认为……”

当薛定谔终于逃离这个鸿门宴时,他身心俱疲,却依然固执己见没有归顺。

作为玻尔助手的海森堡明智地在这场争论中置身事外,只在近距离旁观、记录。他在内心里对玻尔立场不坚定、在与薛定谔的波动说眉来眼去颇有微词。但这时他也已经找到一个击溃薛定谔的利器。那却正是薛定谔的波函数。

就在薛定谔到来之前不久,海森堡也抽空研究了波动方程。他成功地计算出有两个电子的氦原子光谱。那是自玻尔推出原子模型以来一直未能解决、曾经让泡利在博士论文中束手无策的大难题,也是新量子理论的第一个重大突破。

海森堡也因此切身体会到波动方程在实际运算上的绝对优势,不得不承认自己的矩阵在这方面望尘莫及。

但同时,他发现氦原子那两个电子的波函数非同一般。

按照薛定谔那具备直观优势的图像,两个电子的波函数与一个电子的波函数不会有太大区别。它们是电子在三维空间的分布。具有两个电子的波函数无非是质量、电荷的总和会是一个电子的两倍,在形状上则会同时显现两个分立的波包。

然而,海森堡用来解决氦原子的波函数却没有那么直观。它是一个在六维空间中的分布:两个电子各有自己的三维空间。他也很容易地看出,这个结构可以直接推广到更多电子的原子,只是波函数所占据的空间维数会随之增多。铀原子有着92个电子,它的波函数就会有多达276个的空间维数。

这听起来似乎匪夷所思,但对已经精通微分方程的理论物理学家却并不突兀。在拉格朗日、哈密顿推广后的力学体系中,这样的抽象数学空间业已司空见惯。况且,数学家希尔伯特也在几乎同步地提供相应的数学工具——这个多维空间后来就被物理学家命名为“希尔伯特空间”。

虽然这样的空间只是一个数学上的便利。但它也显示波函数并不是薛定谔心目中的物质分布,倒是与玻恩的诠释相当合拍:波函数是电子各自在三维空间中出现的几率。众多的电子各有各的几率分布,互相分离但并不完全独立。它们在同一个波函数下依照薛定谔方程随时间、空间演变,其几率既各自为政又相互关联同步。


狄拉克正是在这个激情四溢的时刻来到哥本哈根。他在市区租住了一个房间,每天形单影只地按时上下班。傍晚,他喜欢随便找一趟公车搭乘到终点站,然后自己循原路步行回家,宁静地领略这个陌生都市的夜晚。星期天,他依然故我地独自在郊外暴走。

玻尔已经见识过太多在他研究所来来往往、性情迥异的年轻人。瘦长、孤僻的狄拉克是他唯一无法吃透的角色。他把狄拉克称作“最奇葩的人”。当玻尔察觉狄拉克对话时只用“是”、“不”两个单词时,他和人打赌看谁能迫使狄拉克说出第三个词汇。经过一番努力,狄拉克终于不得不回应出一个“不在乎”。

狄拉克与玻尔正好处于两个极端。玻尔的论文几乎没有数学公式,喜欢以冗长的句子没完没了地绕圈。狄拉克巴不得整篇论文完全以数学方程示人,根绝日常语言的污染。即便是在讨论时,他也惜语如金,力求以最简短、最准确的词句解释。如果有人不理解,他也只能原封不动地再重复一遍——他已经不可能再找到更好的表达方式。1

玻尔经常被自己正阐述中的复杂语句搞糊涂,会习惯性地抱怨不知道应该如何结尾。狄拉克会冷冰冰来上一句:我们从小就学会了,如果你不知道怎样收尾,就不应该急着开口说话。

在玻尔的眼皮底下,几乎从不开口说话的狄拉克成绩斐然。

延续他博士论文中对矩阵力学的重新表述,狄拉克进一步推出更具一般性的“变换理论”(transformation theory),为新生的量子力学提供了一个完备的数学根基。

在他的理论中,量子力学是代表量子态的矢量在多维希尔伯特空间中旋转的行为规律。如果在这个空间中选取不同的正则坐标,就会出现不同的“表象”(picture)。这些表象中既有着薛定谔的波动方程也有海森堡的矩阵代数。那两个理论不仅互相等价,而且都只是这个更普遍的变换理论的特定表现形式。

狄拉克第一次完整地统一了量子力学。

他还在论文的引言中开宗明义地指出:在这个变换理论中,波和粒子有着完美的和谐。以粒子为出发点的表象经过一个哈密顿变换后就能自然地成为波动性的表象。

于是,海森堡与薛定谔那势不两立的原则性观点冲突看起来也不过是过眼云烟。

美中不足,狄拉克没能独享这一构建量子力学根基的荣誉。几乎同时,玻恩的助手、同样精于数学的约旦也独立发表了同样内容的论文。


在新一代的弄潮儿中,1900年出生的泡利最为年长。海森堡比他师哥小一岁,而狄拉克和约旦又都是1902年出生。在1926年这个不凡的年份中,他们以25岁上下的青春岁月都相继进入了学术成就蓬勃而出的灿烂年华。

玻恩在1925年底去美国讲学之际,约旦交给他一篇自己刚刚完成的论文,请导师审阅后在他担任编辑的《物理学杂志》发表。玻恩随手把稿件放进行李箱,准备在旅途中阅读。不料直到大半年后他才又在箱底发现这篇被遗忘的文稿。

那正是量子力学日新月异的几个月。这一次,是狄拉克独立发表了同样内容的论文,导致约旦那被耽误的稿件不再具备发表意义。

爱因斯坦在完成玻色-爱因斯坦统计后没有意识到他的这个新量子统计——尤其是玻色-爱因斯坦凝聚——与泡利随后提出的不相容原理矛盾。爱因斯坦统计中的粒子会在低温时同时凝聚到能量最低的态。泡利却指出电子互不相容,不可能有两个电子同时占据同一个量子态。

海森堡在构造氦原子的波函数时发现如果将其中的两个电子互为交换,波函数的数值会改变正负号。正是这样的“反对称”可以阻止两个电子进入同一个量子态,满足泡利不相容原理。狄拉克随后做了推广,指出量子的粒子其实有着迥然不同的两类。在波函数中交换时不发生改变——即完全对称——的是遵从玻色-爱因斯坦统计的“玻色子”,它们的自旋量子数是整数。而包括电子在内还有另一类粒子。它们的自旋量子数是半整数,在波函数中交换时呈现反对称。它们不遵从玻色-爱因斯坦统计,需要另一个完全不同的统计规律。

虽然狄拉克因为玻恩的疏忽抢了约旦的先机,他也还没能成为这个新统计规律的创始者。在他之前,意大利的费米(Enrico Fermi)发表了同样的想法。

费米也是一个1901年出生的年轻人。他也曾经是玻恩的学生,但在人才济济的哥廷根自惭形秽,急流勇退。荷兰的埃伦菲斯特听说后,嘱咐学生乌伦贝克去探望。两个年轻人因此成为好朋友。乌伦贝克劝费米一定要见过和蔼慈祥的埃伦菲斯特后再决定是否放弃物理生涯。费米于是加入埃伦菲斯特的研究组,在那里重整旗鼓,最终成长为一代宗师。

1924年埃伦菲斯特(右三)与他的学生合影。左二是古德斯密特,右一为费米。右二是最先提出电子自旋的克勒尼希。左三廷贝亨(Jan Tinbergen)后来成为第一届诺贝尔经济学奖获得者。

尽管费米的论文相当粗糙,并没有细致地分析波函数中的对称性,狄拉克还是尊重费米的优先。他们的新发现于是被称作“费米-狄拉克统计”。相应的粒子叫做“费米子”。

约旦甚是失落。他在自己的专著中将之冠名为“泡利统计”。


沸腾年代中的海森堡也有着自己的烦恼。在哥本哈根担任玻尔的助手本来是他的梦想成真。随着时间的推移,他却感到这个职务有着难以摆脱的负担。

玻尔研究所扩建后,玻尔一家搬出原来主楼里的寓所,改居隔壁新楼中的所长套间。他们原来的卧室则成为助手的客房。与来访的薛定谔一样,住在所内的海森堡感觉玻尔在这里如影随形,无所不在。他无法像狄拉克那样每天按时上下班,因为玻尔会随时出现在他的办公室或寓所,几小时几小时地连续讨论如何诠释量子理论。他们常常如此争辩到深夜,甚至通宵达旦。

在这紧张的工作节奏中,海森堡最渴望的是能有一点自己静心思考的时间2。因为他始终无法忘怀在柏林与爱因斯坦的那一席交谈。

(待续)

系列目录

1

多年后,他的名字在剑桥成为一个计量单位:一个“狄拉克”是每小时说一个单词的语速。

2

他能够在哥本哈根解决氦原子光谱也还是因为那时玻尔得了重流感,有两个月没上班。