量子纠缠背后的故事(十七)

海森堡的矩阵

海森堡万万没想到他会在毕业时栽一个大跟斗。

索末菲从美国讲学回来后,海森堡也从哥廷根回到慕尼黑。虽然他在哥廷根的时间并不长,也已经足以让那里的玻恩给爱因斯坦写信报告:“海森堡绝对是与泡利同等的天才。”索末菲当然深有同感。他安排只上了三年大学的海森堡直接提交博士论文——正与泡利一样。

海森堡最突出的科研成果是在反常塞曼效应的解释中引进半量子数,曾引起广泛争议。为避免不必要的麻烦,索末菲建议海森堡另起炉灶,做一项流体力学的湍流研究作为学位项目。

湍流属于已经成熟的经典物理,只是繁复的数学计算使其成为难题。这对海森堡来说自然不是问题,他很快完成了论文。那是1923年7月,他也只有21岁。

四年前,曾在柏林大学与普朗克一起研究黑体辐射的维恩来到了慕尼黑。他理所当然地是海森堡答辩委员会的成员之一。已经年届花甲的维恩对他在这里次于索末菲的地位颇为不满,也对物理学越来越倾向于索末菲式的理论研究、忽视他所钟情的实验牢骚满腹。偏偏那年海森堡还选修了维恩的实验课却屡屡旷课,丝毫没当回事。维恩一直在等待机会,给索末菲和他的得意门生一点好看。

海森堡的答辩在下午五点举行。他信心十足,有条不紊地对答如流。突然,维恩问起一个与湍流不相干的实验设计问题。海森堡没有准备,不禁张口结舌,说不出个所以然。老练的维恩随即连续发问,逐步降低问题的难度,试探学生的知识底线。海森堡疲于应付,漏洞百出。旁边的索末菲屡次插话,问一些理论问题试图缓解局面,但无法扭转维恩的一意孤行。

不久,维恩以戏剧性的口吻问道:“难道你连一个普通显微镜的原理都解释不了吗?”年轻的海森堡已经丢盔卸甲,无以为答。

在随后的评议中,维恩坚持海森堡的物理基础知识欠缺,打出罕见的零分。索末菲针锋相对地给了个满分。陷入夹缝的另外两位教授只好明哲保身,给了及格分数。平均下来,海森堡还是以勉强及格的成绩赢得博士学位。

从教室里狼狈逃出后,海森堡当晚就离开了慕尼黑,跑到哥廷根去找玻恩诉苦。厚道的玻恩安慰海森堡,并保证不会因此撤回已经给了他的助手职位。

经此突然打击,曾经在阿尔卑斯山中劳筋骨苦心志的海森堡万念俱灰。他给父亲写信,悲愤地宣告他的物理生涯已然终结。然后,他与早年的童子军伙伴们再度聚集,远赴芬兰远足,在大自然中又重新寻回勇气和信心。


1924年3月,在哥廷根给玻恩当助手的海森堡利用假期第一次来到哥本哈根。他渴望再一次当面请教玻尔,理清他越来越强烈的疑惑。时间治愈了他论文答辩的心理伤痕,却还无法消除他对量子理论的迷茫。

玻尔的原子模型已经问世十年了,在氢原子、氦离子的光谱上成功之后裹足不前,似乎已经穷途末路。泡利的氢分子离子只是那些年无数失败中的一例。即使在那少有的成功背后,这个模型也只能给出光谱线的频率,无法计算谱线的强度。更糟糕地,它预测的谱线也并不完全与实验相符:在准确预测观察到的谱线同时,也经常会预测出一些不存在的“多余”谱线。

这说明玻尔的原子模型其实存在重大的缺陷。海森堡不得不怀疑那些少有的成功不过是瞎猫撞上了死老鼠,并不是真实的物理。

他在波尔研究所的客房里住了几天,一直没能见到玻尔。终于,玻尔突然出现在他的门口,二话不说告诉他收拾行李,第二天一早出远门。

接下来,这两个身体强壮、酷爱野外生活的师徒长途背包远足,在三天里徒步了大约160公里。玻尔带着海森堡领略了丹麦北部的山野风光,包括传说中哈姆雷特王子(Prince Hamlet)的宫殿。

玻尔解释道,这个才开张不久的研究所已经容纳不下越来越多的来访者。他已经买下旁边的地皮,正在筹建新楼以扩展。这些繁忙的事物占据了他太多的时间精力,只有这样逃出来才可能有时间思考。

在那几个难得的日子里,他们没有怎么谈论量子、物理,而是老朋友似地交流各自的成长经历,尤其是战争对生活所造成的影响。这对海森堡又是一次出乎意料的人生体验。他感受到玻尔与他熟悉的那些传统德国教授迥然不同,是一个真真切切的性情中人。

他决定接受邀请,半年后来哥本哈根接替泡利的职位。


回到哥廷根,海森堡终于第一次见到了他心目中的偶像爱因斯坦。

两年前,海森堡曾经在莱比锡的科学院年会上扑空,没能见到这位世界著名的物理学家。这一次,已经恢复正常活动的爱因斯坦来到哥廷根讲学。年轻的海森堡又一次得以单独与大师在街头漫步。

那正是玻尔的BKS论文问世不久的日子。刚从哥本哈根访问回来而对玻尔无限崇拜的海森堡迫切地想知道爱因斯坦的看法。虽然早已有了思想准备,他还是为爱因斯坦所表达的反对态度而震惊。他第一次切身领略,即使是最顶级的物理大师,他们之间也会有着尖锐的原则性分歧。

那年秋季,玻恩跟随着索末菲的脚步去美国讲学。落空的助手海森堡在玻尔的协助下争取到一笔资助,前往哥本哈根任职。

玻尔研究所的年轻人也正处于与海森堡相似的彷徨迷茫之中。BKS论文遭到了物理学界几乎一致的反对。德布罗意把电子看作波动的新思想同样地引起非议。虽然他的驻波模式为玻尔原子模型中的允许轨道提供了依据,玻尔等人却无法理解、接受电子的轨道运动如何能与虚无缥缈的波联系起来。

在一片思想混乱中,玻尔迫切期望能有新的突破。在他的指导下,克莱默正在尝试一个新的途径,他邀请海森堡协助。

在那篇BKS论文里,玻尔和克莱默——以及旁观的斯莱特——不仅放弃了传统的能量、动量守恒,还舍弃了玻尔模型的精髓:电子的轨道跃迁。十年前,玻尔做出他最精彩的突破:电子发出、吸收辐射的频率与其自身运动的频率无关,只取决于跃迁前后轨道的能量差。那是爱因斯坦不曾想象出的神来之笔。但也正因为这一“无关”,他的模型只能计算辐射的频率,无从推导谱线的强度。

他们于是重新想象原子内部是一系列谐振子。它们的频率与发射、吸收的辐射相同而共振,由此计算康普顿效应中辐射与电子的相互作用。这样,十年后的玻尔又回到了整整四分之一世纪以前普朗克计算黑体辐射的老路。

那BKS论文没有一个方程式,只是洋洋洒洒地论辩。为这个框架填补数学内涵便是克莱默的任务。按照玻尔的对应原理,电子如果是在非常高能量的轨道上运行,其行为会等同于经典物理。在那里,电子轨道自身的频率与其作为谐振子吸收、发射辐射的频率趋于一致。

玻尔原始模型中的电子轨道是圆形,只有单一的周期和频率。经过索末菲推广后,轨道变成椭圆,频率不再单一。这个问题在数学上很容易处理,可以应用所谓的“傅立叶变换”(Fourier transform)。克莱默和海森堡如此这般,将高能量轨道上电子的位置、动量随时间的变化处理成不同频率组成部分的叠加,试图从中找到不同频率的相对强度来对应于光谱线的强度。

他们获得了成功。不过那成功依然于事无补。这个变换只适用于能量非常高的轨道,无法相应地用于低能量的轨道。而那才是真正需要解释的量子世界。


那年年底,海森堡收到泡利来信,通告他刚刚作出的重大突破。他看到这位向来偏爱严谨数学推导、厌恶形而上学式夸夸其谈的师兄居然捡起了他丢下的第四个量子数,并无中生有地提出不相容原理不禁莞尔,立即回信调侃了一番。也许量子世界如此诡异,连泡利也无法洁身自好。

与师兄相比,海森堡对他在哥本哈根的进展很不满意。他没能找到消除量子理论疑惑的灵丹妙药,只能带着依然的满腹狐疑在1925年5月返回哥廷根。

倒是玻尔不知如何看到了一线曙光。他宣布:“现在一切都在海森堡的手里了,他得为我们找出一条摆脱困境的途径。”


回到哥廷根后,海森堡患上严重的季节性花粉过敏。他的整个脑袋红肿得不成人形,眼睛也睁不开。于是他不得不向玻恩请了两个星期假,自己带上几本书和一大叠演算纸乘火车到德国的最北端,然后搭船上了北海中的一座小岛。

那是一个面积不过2.6平方公里的荒岛,上面只有几间简陋营房供度假者使用。对海森堡来说,这个岛的优势正在于它的光秃:没有花粉。

在海风的吹拂下,他的症状逐渐消退,脑袋开始清醒。他整天在岛上徒步攀爬,阅读、背诵歌德(Johann von Goethe)的经典诗篇,间或也思考他的物理。

从牛顿开始,物理学家对物体运动的描述集中于位置和速度。只要知道物体在某一个时刻的位置和速度,牛顿定律就可以通过其受力环境准确地计算它在将来任何时刻的位置和速度。玻尔的原子模型也是一样:电子在某一时刻会出现在特定轨道上的某一位置,有着某个特定的速度。

然而,与牛顿所熟悉的物体不同,从来没有人真正看到过电子,甚至原子。泡利的教父马赫曾经因此断然否决原子的存在,因为这个存在无法实证。如果原子的存在尚且存疑,何况其内部的电子轨道?

泡利在那篇被爱因斯坦赞誉“对科学思想心领神会”的相对论综述中,曾为相对论的思想起源赋于逻辑实证的阐述。他以比爱因斯坦更为熟稔的笔触回顾了爱因斯坦如何通过一系列“假想试验”论证了牛顿绝对空间、绝对时间之不可能存在、引力与加速的无法区分,从而建立相对论的新理念。泡利在文中总结道:“在物理上,对实验中无法观测的物理量的讨论是毫无意义的……那些只会是假想概念,没有物理意义。”

从小就对哲学深感兴趣的海森堡对师兄的逻辑实证描述并不陌生。在这个小岛上,他突然领悟电子的轨道,以及它的位置和速度其实都是“实验中无法观测的物理量”。对于原子来说,实验中可以观测的物理量只有光谱:那一条条光谱线的频率和强度。除此之外,一切有关原子的描述都只是“假想概念”。

于是,他意识到必须整个地颠倒玻尔的原子模型:不能从假想的电子轨道出发计算光谱线,而应该是通过光谱的物理变量来推算电子的运动。其实,克莱默已经无意识地走上了这条路。在他们针对高能量状态的计算中,电子“轨道”经过傅立叶变换分解为不同频率的成分,那正是用光谱变量来描述电子的位置和速度。其结果是电子的位置和速度分别是两个数学多项式:各个频率成分的叠加。

在具备量子特性的低能量状态中,电子的轨道运动本身不再对应于辐射的频率。因此同样的做法无法适用。海森堡明白了那只是他们拘泥于轨道这个假想概念的结果。如果电子的轨道并不存在,电子的运动依然可以通过光谱变量推算。在低能量状态中,电子既不会像玻尔想象的在固定的轨道上运转,也不会在两个轨道之间“跃迁”。电子只是按照所有可能存在的谱线变量所决定的模式运动。

为了找出所有可能辐射频率的组合,海森堡发现他不再能用傅立叶变换后出现的简单多项式,而必须制作出一个表格。那是一种生活中很常见的表格。有些地图上会看到有大城市之间的距离表;在体育新闻中,循环赛各队之间比赛的比分也常常以这样的表格来展示。表格中的行和列分别是城市或球队,表中则列出它们之间的距离、比分等各种数值。

海森堡制作的表格类似于城市的距离表。不同的是每一个“城市”代表原子的一个能级,城市之间的距离就是能级之间的能量差,也就是辐射的频率。这个列表可以非常大,因为电子的能级可以有无穷多个。他同时也可以另外做一个相同的列表,其中的数值不再是辐射的频率而是强度,也就是爱因斯坦辐射理论中的那个吸收或发射的可能性。

然后,海森堡仿造傅立叶变换的多项式以这些列表构造出电子位置、速度的表达方式,以及相应的物理规律。这时他需要用这些列表做代数运算,于是他不得不摸索出一套如何将两个表相加、相乘的法则。他费了好一番功夫才理清了这些头绪,发现这个新体系居然既有着逻辑上的自洽,也符合着物理的能量守恒。

这时已经是凌晨三点。他无法入睡,干脆跑到室外的海边,在黑暗中攀登上一块高高的、延伸到海面上的巨石,坐着等待日出。他并不明白自己刚刚发现了什么,但他知道“事情已经发生了”1


十来天后,海森堡终于下了岛。他在回程中特意先去了一趟汉堡,征求师兄的意见。泡利听了他一番语无伦次的描述,罕见地未能当机立断地指出其中谬误,只催促他赶紧写出论文发表。这给了海森堡莫大的信心。

又费了一番功夫,海森堡写出了论文初稿。虽然他对玻尔无比尊敬,他一时没敢向玻尔透露这一进展。在哥本哈根与克莱默合作的那几个月里,他已经领教过玻尔对论文大刀阔斧、反复无常的修改套路。为避免那样的命运,海森堡将论文就近交给了玻恩。然后,他自己启程前往英国剑桥履行早就计划好的学术访问,顺便又与童子军小伙伴们相聚,在英吉利海峡沿岸远足。

玻恩果然不假思索地就把论文转交给《物理学杂志》发表。但他放心不下海森堡的那个列表,尤其是他为列表发明的运算法则。熟谙数学的玻恩总觉得那一套似曾相识。直到他七月中去参加德国物理学会的年会时,他才想起来那是多年前还在学数学时见到过的“矩阵”(matrix)。

海森堡式的列表在古代就有过雏形。半个世纪前,剑桥的著名数学家凯利(Arthur Cayley)为其赋予严格数学定义,称之为矩阵并发展了相应的代数。海森堡自己琢磨出来的那些运算规则正是凯利矩阵代数的一部分。在那之前,矩阵代数只是数学的一个隐晦的分支,还从来没有过任何实际意义,故也不为人所知。

玻恩在会上找到泡利,提出一起将海森堡的新理论用凯利的数学规范化。不料泡利竟一口回绝。酷爱数学严谨的泡利这次居然声称他师弟的工作是一幅精彩的物理图像,容不得玻恩用某个纯数学体系糟蹋。

玻恩回家后只好向他的新助手约旦(Pascual Jordan)求教。约旦刚刚得到博士学位,却也是一位精通数学的鬼才。他们恶补了一番矩阵代数,将海森堡在小岛上的粗糙思想以完整的数学方式表达出来。海森堡度假回来后立刻也加入了这一行列。

1925年9月,海森堡自己的论文率先问世。两个月后,玻恩和约旦发表了他们充实海森堡数学基础的论文。1926年2月,玻恩、约旦和海森堡联名发表“三人论文”,一举奠定所谓的“矩阵力学”。

也在那同一时期,玻恩和海森堡相继开始使用一个新名词:“量子力学”。它标志着一个有别于牛顿力学的新力学体系的诞生。

(待续)

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