量子纠缠背后的故事(十五)

德布罗意的波

斯莱特要将波与粒子结合起来描述光子的想法是他的独创,却也不是首创。在他之前,爱因斯坦就已经为同样的念头纠结了好几年。

爱因斯坦在1917年的辐射论文中提出光子有动量,是“实实在在”的粒子。原子在辐射时只能往一个特定的方向发射一颗光子。我们没法看到这样的景象,因为日常的光源无论多小都有着太多太多的原子在同时辐射。它们随机地向四面八方发射光子,我们看到的光便是一个球形的波。

这个解释与玻尔后来在BKS论文中所用的手法一致,都是将宏观世界的现象看作大样本的微观事件的综合,并不一定是微观事件的忠实表现。玻尔试图论证微观世界不遵从能量、动量守恒律,那只是宏观中统计平均的结果;爱因斯坦说的是微观世界的粒子过程在统计平均后看起来会是宏观的波动。

自普朗克以降,物理学家在量子新世界里不再被既有的物理定律束缚,可以大胆地另辟蹊径,创造新的规则。

玻尔的假想很快被实验否定,爱因斯坦也无法自圆其说。因为他清楚,统计平均的解释可以对付点光源的发光,却无法适用光作为波动的其它表现。自从杨在1803年展示了光的干涉、衍射之后,光的波动说就已经完全确定,导致牛顿的微粒说销声匿迹。光作为粒子的运动无论有多大的样本,如何地统计平均也不可能出现干涉和衍射。

那正是从普朗克到玻尔的物理学界顽固地抗拒光子概念的最大理由。显然,即使光是由单个、实在的粒子组成,它也必须以某种形式具备波动性。这在经典物理中找不到“对应”,只能再度寻找新的途径。

与斯莱特后来的想法相似,爱因斯坦曾设想作为粒子的光伴随有一个鬼魅般的场(ghost field)。与粒子在特定时刻只处在空间一个点相反,这个鬼场同时弥漫整个空间,遵从麦克斯韦方程。原子辐射时会产生这个场,以球面波传播。而同时发射的光子则在这个鬼场的引导下运动,其在空间某个点出现的可能性由鬼场在该点的强度决定。这样,大量光子的集合会宏观地呈现出鬼场作为电磁波的形状和行为,包括干涉、衍射等波动特征。

虽然井井有条,爱因斯坦无法为这个概念赋予严格的数学表述。他没有正式发表论文,只是在与洛伦兹、索末菲、埃伦菲斯特等朋友的信件往来中私下讨论,使其在学术界小圈子里尽人皆知。

诺贝尔奖也为爱因斯坦的生活、工作环境带来正面的变化。在举国上下如他所料地因为广义相对论的成功将他认作“德国物理学家”时,萊纳德、斯塔克等人的攻击偃旗息鼓。德国境内的反犹太情绪也一时陷入低潮。他又有了可以专心学术的环境。但与十年前他在量子化麦克斯韦方程时屡战屡败一样,他在鬼场上也再度碰壁。于是,他又一次离开量子领域,转战统一场论,希望能取得比广义相对论更为辉煌的成果。

然而,在1924年的夏天,他接连收到两封不期而至的来信,执拗地将他的注意力又暂时地拉回到量子世界。


第一封信来自遥远的地球另一端:印度。

爱因斯坦从来没有去过印度,最近距离的接触是在去日本途中曾在斯里兰卡靠岸逗留。在他的旅行日记里,他对科伦坡街头的印度人和上海的中国人都怀有既可怜又鄙视的情感。

但这封来自陌生东方国度的信引起了他的兴趣,作者是那里一位名叫玻色(Satyendranath Bose)的年轻物理学家。

玻色出生于当时是印度首府的加尔各答。他因为家境尚可,从小接受了良好的教育。但在英国的控制下,印度人在自己国家的大学里很难谋得职位。玻色只能混迹于三流学校。他与相同处境的朋友们一起翻译爱因斯坦的著作,也自己发表过几篇没人注意过的论文。

这一次,玻色投稿英国刊物的论文在审稿中被拒。他异想天开,直接给爱因斯坦写信请求他将英文稿件翻译成德语,安排在德国著名的《物理学杂志》发表。他在信中写道:“我们素昧平生,但我提出这个请求时丝毫不带踌躇。因为曾经从你的著述中获益匪浅,我们都是你的学生。”

爱因斯坦每天都会收到大量这类素昧平生作者的来信。他奇迹地没有忽略这一封,用他很不娴熟的英文阅读了论文。在短短的两页纸中,玻色做到了爱因斯坦过去没能做到的事:完全从光子出发推导出黑体辐射的普朗克定律。

爱因斯坦曾在1917年的辐射论文中第一次推导出普朗克定律。但他借助了玻尔的原子模型,通过辐射体与辐射场的热平衡才获得成功。黑体空腔内部的辐射可以完全决定自己的平衡态状况,没必要依赖作为腔壁的原子。在普朗克之前,瑞利和爱因斯坦都曾只对空腔内部的电磁波进行统计分析,推导出瑞利定律,揭示了经典理论中的紫外灾难。

相应地,在量子的概念中,空腔内的辐射不再是连续分布的电磁波,而是不同频率的光子。因为光子之间没有相互作用,那是一个物理学家熟悉的理想气体系统。用统计手段推导它的状态轻而易举。爱因斯坦和其他人都尝试过,却始终没能得出普朗克定律而只能得到近似的维恩定律。

玻色声称他解决了这个问题。爱因斯坦自然不会掉以轻心。

在瑞利和爱因斯坦最早的经典推算中,他们通过数空腔内电磁波能形成的驻波数目计算各个频率的自由度,然后根据能均分定理得出能量分布。理想气体系统中相应的是要数出光子所能有的状态数目。就像一个盒子里有若干个小球,它们可以任意分布,不同的排列组合便是不同的状态,需要一一计数。

爱因斯坦很快发现玻色在计数时耍了一个似乎不起眼的花招:如果将盒子里的两个小球彼此交换位置,那会是一个与原先不同的新状态,尽管如果两个小球一模一样时会看不出区别。玻色却忽略了二者的区别。在他的计数过程中,小球——光子——互相交换时不改变状态。这似乎是一个非常低级的错误。但这样一来,空腔内光子所能有的状态数目大大减少,结果就出现了普朗克定律。

玻色在论文中对这个关键的步骤一笔带过,没有解释。他后来承认当时完全没有意识到这有什么新奇。与早先普朗克发现他那定律的过程类似,那可能只是玻色在已知结论的情况下拼凑出来的招数。因为果然得到期望的结果,他更没有再去考虑所用的计算方法有什么不可思议。

爱因斯坦看出了玻色的这个戏法,也一时无法领悟其物理含义,只觉得玻色的推导“很优雅但其实质却非常隐晦”。但毕竟玻色由此推导出了普朗克定律,其中必有合理之处。他立即依照玻色的请求将稿件翻译成德语,推荐给《物理学杂志》,并附上一段译者注:“在我看来玻色对普朗克定律的推导标志着一个重要的进展。他采用的方法还能导致理想气体的量子理论,我会另外提供具体信息。”

有着爱因斯坦的担保,玻色的论文立即被杂志接受发表。

短短几个星期之后,爱因斯坦宣读了他自己“另外提供具体信息”的论文。这时他已经完全明白了玻色算法背后的意义:在量子世界中,粒子是“不可分辨”的:两个同样频率的光子就是完全相同的光子,无法分辨彼此。所以,将这样的两个光子互相交换位置,前后没有任何区别,系统便不会改变状态。

这又是在经典物理中不存在“对应”的量子世界独有的特性。爱因斯坦指出这个不可分辨不仅适用于作为辐射的光子,而是所有微观粒子——电子、原子——的普遍性质。如此而来,麦克斯韦、玻尔兹曼的统计理论只适用于可分辨粒子的经典系统。在量子世界,必须采用新的计数方法,即“玻色-爱因斯坦统计”。

爱因斯坦之所以能如此断言,是因为他发现这个新的统计方法解决了另一个让他头疼的问题。

也还是十几年前,爱因斯坦通过对固体比热的量子计算证明当温度趋于绝对零度时,系统的自由度将一个个被“冻结”,导致整体的熵趋于零。遗憾的是,他的比热计算只适用于低温的固体、液体,气体——尤其是理想气体——却不遵从这一规律。

理想气体是物理学家的一个理想化模型,其中的粒子没有相互作用,也就不会像常规气体那样在低温时发生变成液体、固体的相变。无论温度如何降低,理想气体的自由度都没法被冻结,熵不会降为零,违反了热力学第三定律。虽然这只是现实中不存在的模型,爱因斯坦也一直放心不下。

他这时发现,如果采用新的量子统计,理想气体在温度趋于零时会发生一个奇妙的相变:大量粒子将“凝聚”在一起,不再以单个的粒子存在。在绝对零度,所有的粒子都进入这样的一个共同状态,不再有任何个体差异。这样,系统的熵便等于零,完全符合热力学第三定律的要求。

这又是一个在经典世界中不存在对应的量子奇迹,叫做“玻色-爱因斯坦凝聚”。1

爱因斯坦那些对量子已经见怪不怪的同行们对这一新动态也都觉得难以想象。只是在整整70年后,玻色-爱因斯坦凝聚才在1995年被新新一代的物理学家证实,再一次凸显爱因斯坦的卓越远见。


玻色来信后不久,爱因斯坦又收到另一个小字辈的论文。相比之下,这封信来自近在咫尺的巴黎,是老朋友郎之万在请求他帮忙。郎之万的一个学生刚刚完成博士论文,让他很难定夺。他告诉爱因斯坦这篇论文很有点奇怪。但因为当初玻尔的原子模型也很有点奇怪,他不敢轻易下结论。

第一届索尔维会议在1911年举行时,与会的物理学家没有留意他们下榻的旅馆里有一位19岁的法国小青年。德布罗意(Louis de Broglie)当时只是他哥哥的小跟班。哥哥比他大17岁,刚在郎之万指导下获得博士学位,因导师的赏识得到邀请担任会议书记员。德布罗意也跟着来看热闹。他没有抛头露面,只是每天晚上在房间里听哥哥回顾当天会上的讨论,想象大师们的风采。

他们兄弟俩出生显赫,家族同时拥有法国公爵(duke)和德国王爵(prince)的世袭封号,三百多年来出现过多名部长、外交官、将军等,还有过一位总理。德布罗意14岁时父亲去世,由他这位长兄抚养长大。

贵族的传统是或从武当兵或从文辅政,为国家、国王效力。德布罗意的哥哥在海军服役九年。因为负责舰船之间的无线通讯而对科学发生了兴趣,他违背家族意愿退伍,去法兰西大学攻读博士,还在自己家里修建了一个研究X射线的实验室。

德布罗意从小倾向学问和政治,上大学时选择的是历史。毕业时他开始对历史厌倦,频繁地在哥哥的实验室里帮忙而逐渐对物理产生了兴趣。索尔维会议期间,哥哥每天晚上眉飞色舞的描述更让他心生向往。于是他回返大学,又修习了物理专业。

当他再次毕业、按规定服兵役时,第一次世界大战爆发了。他不得不搁置研究物理的念头为国效忠。他哥哥通过关系把他调到特殊的通讯部队,一起驻扎在埃菲尔铁塔下,用那上面的天线进行无线通信。在那四年的漫长时光里,德布罗意切身体验了麦克斯韦电磁波的效用。同时,他也埋头钻研从哥哥那里得到的索尔维会议纪要。

及至战争结束,他已经是27岁的成年人。他又跟随哥哥的脚步,师从郎之万攻读物理博士。

与居里夫人关系密切的郎之万是杰出的实验物理学家,但基本上不涉及理论研究。那时的巴黎很难找到一个像样的理论物理学家。德布罗意只能靠自己,他琢磨得最多的还是十年前在索尔维会议听到、读到的量子问题。

在1923年时,他终于有了一个新奇的想法:爱因斯坦揭示了光同时具备波和粒子的特征。那大概不会只是光的特别,应该可以扩展到其它所有的物质。如果光波可以表现得如同粒子组成,那为什么由粒子组成的电子束就不会表现得犹如波动?

这是一个相当朴素、简单的想法。但德布罗意在数学上把它搞得相当复杂,动用了相对论等一连串“重武器”。与玻色类似,他在法国期刊上发表了几篇论文,丝毫没有引起注意。随后,他一起汇总,写成博士论文。郎之万对这充满数学公式的东西一头雾水,只好让德布罗意再打印一份,由他去找爱因斯坦求救。

爱因斯坦记得索尔维会议上的那个德布罗意,对来自他“小弟弟”的论文颇为好奇。他又一次表现出非凡耐心,花时间梳理名不见经传的新手乱麻似的逻辑迷宫,发现了深藏在内的精华。

频率是波动的特征。普朗克提出的能量子概念首次将频率与能量联系起来。在爱因斯坦的推广下,光子有能量和动量,都与其频率成正比。这是光从波“变成”粒子的途径。作为粒子的电子没有频率,它的能量和动量由其质量和速度决定。德布罗意在这里把普朗克关系倒过来用,通过电子的能量、动量计算出它在某个速度时所对应的“频率”。这样,电子也从粒子“变成”了波。

接着,德布罗意把这个关系套用到玻尔的原子模型上,立即看到一个奇妙的图像。

当一根琴弦被两头固定时,它只能演奏出几个鲜明的曲调。那来自琴弦上所能形成的驻波。电子绕原子核运转的轨道是一个圆周,其周长相当于琴弦的固定长度。在那个长度上能形成的驻波数目同样固定、有限:轨道的周长必须是驻波波长的整数倍。

德布罗意把电子在轨道上运转的速度换算成频率和波长,赫然发现玻尔规定的那些允许轨道正好满足这个条件。在那些轨道上,电子所相应的波首尾相连,像两端固定的琴弦一样形成稳定的驻波。而轨道周长对波长的倍数正是玻尔引进的第一个量子数。

在那些以外的其它轨道上,电子所相应的波长与轨道周长不“匹配”,无法形成稳定的驻波。电子也就不可能在那里栖身。

玻尔当初只是跟随之前尼科尔森的建议采取了角动量为普朗克常数整数倍的那些轨道为允许的轨道,并没有什么说得过去的理由。德布罗意把电子的运动看作波动,电子绕原子核的“公转”就成了不随时间变化的驻波。这是那些轨道稳定性的第一个像样的根据,一个源自几何的论证。

爱因斯坦激动莫名,立即给郎之万回信,“德布罗意的论文令我非常佩服。他终于揭开了一个巨大面纱的一角。”

当德布罗意在那年11月举行答辩时,由法国最著名的物理学家、数学家构成的专家组里没有一个人能读懂他的论文。但他们都得知了爱因斯坦的热情首肯,便轻而易举地让他通过,获得博士学位。

与玻色一样,德布罗意的论文给爱因斯坦极大启发,引导他揭示量子世界更为意想不到的奇妙。年底,爱因斯坦给洛伦兹写信报告,“我们认识的那个德布罗意的小弟弟在毕业论文里针对玻尔-索末菲量子定则做了一个非常有意思的解释。我相信这是解决我们这个最糟糕的物理谜团中第一束微薄的曙光。我自己也发现了能支持他这个设想的证据。”

(待续)

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虽然名为“玻色-爱因斯坦统计”、“玻色-爱因斯坦凝聚”,这些其实都是爱因斯坦的独立发现。玻色在最初那粗糙、也许只是碰巧的想法之后不再有贡献。