科学随笔：邓煜获菲尔兹奖成就背后的物理
物理世界的“时间箭头”能在数学推导里“涌现”吗？
近日，北京大学校友王虹（Hong Wang）和邓煜（Yu Deng）双双赢得2026年度菲尔兹奖（Fields Medal），在中文媒体引起很大反响。菲尔兹奖是数学界最负盛名的荣誉，授予四十岁以下青年学者。本次夺魁的四人各有各的成果。
王虹证明的“挂谷猜想”（Kakeya conjecture）是典型的纯数学。她与物理学的瓜葛只能算她在麻省理工学院求学时的博士导师古斯（Larry Guth）为著名物理学家阿兰·古斯（Alan Guth）的儿子。阿兰·古斯在1979年发现宇宙“暴胀”（inflation）时，王虹的导师还不及两岁。1
邓煜与合作者哈尼（Zaher Hani）和马骁（Xiao Ma）“解决”的却是一个物理问题。更确切而言，一个数学家眼里的物理问题。
法国的拉普拉斯（Pierre-Simon Laplace）在十九世纪初总结人类对客观世界的认识时阐述今天的宇宙是由其过去演化而来的结果，也将是未来状态的原因。只要全面掌握宇宙里每个粒子在这个时刻的位置、速度和互相之间作用力，就可以毫无差错地推算出它们的未来构造，或回溯过去。当皇帝拿破仑（Napoleon Bonaparte）好奇地询问一个如此机械的世界里怎么还能有上帝的位置时，拉普拉斯豪迈地答曰：“我从来不需要假设上帝的存在。”
拉普拉斯的信念来自一个半世纪前英国大师牛顿（Isaac Newton），后者的动力学以精确定量的数学形式描述自然世界随时间演化的因果关系。给定粒子在某个时刻的位置、速度和所受的力，牛顿定律准确预言它在下一个时刻的位置和速度。推及整个宇宙，拉普拉斯的宣言理直气壮——至少在理论上。他清楚组成宇宙粒子数目之浩瀚，唯有“超级智能”才可能“全面掌握”。后人将他想象的超人戏称为“拉普拉斯妖精”（Laplace’s demon）。
牛顿早已明白此路不通。他的动力学定律也可以直接应用于水的流淌，并不总得精细到其中每一颗粒子的运动。大而化之地将水看作一个整体，牛顿推导出地球并非圆球，是一个扁球体。他也以此解释海洋里的潮汐。2后来的欧拉（Leonhard Euler）、拉普拉斯以及法国工程师纳维（Claude-Louis Navier）与爱尔兰贵族斯托克斯男爵（Sir George Stokes, 1st Baronet）前赴后继，在十九世纪后期将牛顿的流体理论充实为完整的纳维-斯托克斯方程组（Navier–Stokes equations）。这些方程里没有肉眼看不见的“微观”（microscopic）粒子，只整体性地刻画流体的密度、压强、流动速度等“宏观”（macroscopic）参量随时间的变化。流体力学因而被称作宏观理论，与细致到每一颗粒子动向的原始牛顿方程之微观理论相对。
也是在拉普拉斯之后，英国的麦克斯韦（James Clerk Maxwell）在1860年另辟蹊径，改用专门对付大样本的统计方法研究数目众多的粒子。为简便起见，他选择比水稀薄得多的气体，假想其中的粒子彼此相遇时发生碰撞，但除此之外没有相互作用。这些“硬球”（hard sphere）在给定温度下的速度分布很确定，即以各个速度运动的粒子数量大致不变。温度升高时，粒子速度的“麦克斯韦分布”（Maxwell distribution）向高速方向挪移，普遍比温度低时快一些。
新理论里虽然有粒子（硬球），却并不在乎单个粒子的运动速度。“粗糙”（coarse-grain）归纳出的整体性分布足以计算气体各种宏观物理性质。这是介于微观和宏观之间的“统计力学”（statistical mechanics）。今人特意为之生造一个新词：“介观”（mesoscopic）理论。
麦克斯韦描述的是平衡态的气体，其宏观物理性质不随时间变化。奥地利物理学家玻尔兹曼（Ludwig Boltzmann）后来将统计力学推广至随时间演变的非平衡态。他的“玻尔兹曼方程”（Boltzmann equation）囊括气体流动、混合等动力学系统，与牛顿方程和纳维-斯托克斯方程组并驾齐驱。
这样，流体的运动在十九世纪后期有了微观、介观和宏观三个不同高度、各有千秋的视角。务实的物理学家根据课题所需随意选用，得心应手游刃有余。
数学家却心有戚戚。他们心目中的人类知识积累理应像欧几里德（Euclid）几何学那样逻辑缜密，丝丝入扣滴水不漏。描述同一个流体运动的牛顿方程、玻尔兹曼方程和纳维-斯托克斯方程组也不能各执一词。二十世纪到来之时，德国大数学家希尔伯特（David Hilbert）将这个问题列入他汇集的23道悬而未解数学难题，提请数学界施以援手，填补被物理学家罔顾的逻辑空隙：从微观的牛顿动力学出发，严格推导出介观的玻尔兹曼方程和宏观的纳维-斯托克斯方程组。
麦克斯韦和玻尔兹曼当初若是能够做到这一点，他们或许不至于退而求其次地诉诸“不严格”的统计手法。希尔伯特自己投入大量精力，终也劳而无功。
半个世纪后，美国数学家格拉德（Harold Grad）借用物理学一个新框架3从微观的个体硬球出发，逐渐加入越来越多的硬球递归计算，可逐步趋近介观、宏观尺度。美中不足的是这个数学流程只能在苛刻的限制中进行。十多年后的1975年，兰福德（Oscar Lanford）终于在“玻尔兹曼-格拉德极限”（Boltzmann–Grad limit）下从牛顿定律推导出玻尔兹曼方程，展现解决“希尔伯特第六问题”的第一道曙光。可惜他的数学推导也只适用于极短的时间，意义不大。
又等了半个世纪，邓煜和合作者才再接再厉地证明兰福德的推导其实对任何时间尺度都成立，一举摘得菲尔兹奖桂冠。
格拉德、兰福德和邓煜等人都着重于从牛顿定律到玻尔兹曼方程的推导。这是应对希尔伯特挑战的第一步，也是最关键一步。从微观到介观不只是填补一个逻辑缺口，其间还有一个“量变到质变”的飞跃。
设想我们将麦克斯韦的气体放大拍摄成录像，清楚地看到里面的一个个硬球。它们没发生碰撞时不受力，各自进行惯性的直线运动。两个（或多个）硬球在碰撞那一瞬间分别受到彼此的斥力改变运动的速度和方向，也都遵循牛顿的定律。观看录像的人们无所谓这些技术细节。他们看到的是各个硬球的惯性运动和碰撞，似乎没什么头绪。
如果有人促狭地将录像倒着播放，让那些硬球都以原来的反方向“回溯”。观众看到的也还是各个硬球漫无头绪的惯性运动和碰撞，与原版没啥差别。此乃牛顿定律的“时间反演对称性”（Time-Reversal Symmetry），或曰时间“可逆”（reversible）。
再想象一个略为不同的录像：全部硬球开始时挤在一个角落里，然后在持续的碰撞中逐渐散开，直到遍布整个容器。这个录像倒着放时会迥然相异：容器内硬球在碰撞中慢慢聚拢，最后全集中到那个角落。观众很容易分辨二者之别，也会不假思索地指认后面看到的是录像倒放特技。
两个录像的区别在于前一个为麦克斯韦的平衡态，后一个则是玻尔兹曼方程描述的从非平衡态走向平衡态过程。全部硬球挤在一个角落时不合乎麦克斯韦分布，在自然界“不太可能”（improbable）出现，只能是人为的初始设置。它们自然地演化为硬球充满容器的平衡态。录像倒放时，这些硬球却是从熟悉的平衡态走向“不太可能”状态，观众很容易看出其中蹊跷。
玻尔兹曼方程里因而有一个固定的演化方向：走向平衡态。这是时间上的“不可逆”（irreversible），与牛顿定律截然相反。
但若细细探究，即使后一个录像里每个硬球的惯性运动和碰撞在正放或倒放时也没有差异。它们遵循着同样的牛顿定律，保持时间反演的对称性。假如录像里只有寥寥无几的硬球，即使它们偶尔聚集到一个角落里也不会让人大惊小怪。只有在硬球数目多达几十、几百个，也都全挤到一起时，观众才会不约而同地喊道：这不可能！
以现代的时髦话语而言，玻尔兹曼方程里的“不可逆”是一个硬球数目增多时才“涌现”（emerge）的新物理现象。
诚然，所谓“新”和“涌现”只是相对牛顿定律而言。硬球在互相碰撞中只会越来越分散，不应该自行聚集到一个角落是生活常识，正如一滴红墨水在清水里只会弥漫到每个角落，不会再重新聚成一滴。类似违背时间反演对称性的现象比比皆是。温度高的物体与温度低的物体接触时会逐渐达成一个同样的温度（平衡态），断然不会再现热者更热、冷者更冷的两极分化。这些都属于不可逆过程，像覆水难收一样只能向一个方向演化。人们看到与之相反的场景就会理所当然地判定那是倒放中的录像，并非真实。
差不多与麦克斯韦统计理论同时，德国物理学家克劳修斯（Rudolf Clausius）提出热力学第二定律描述不可逆过程，以一个叫做“熵”（entropy）的新物理量作为标度：封闭系统的熵只会持续增加。无独有偶，玻尔兹曼也在他的方程里发现一个随时间增加的量，4正好是熵的统计解释：熵是一个系统“混乱”的度量。封闭系统总会自行走向更为混乱、无序的状态。这是热力学的“时间箭头”（arrow of time）指向。
玻尔兹曼方程的介观视角比牛顿的微观高得多，描述的正是大量粒子的集体行为。反演不对称的时间箭头在其中已然涌现。希尔伯特第六问题因而隐含这一神奇：用严谨的数学明明白白地展示时间箭头在从牛顿定律到玻尔兹曼方程的逻辑推演中的涌现。与之相反，从玻尔兹曼方程到宏观的纳维-斯托克斯方程组没有类似的“质变”，相对而言直截了当。
然而，兰福德成功地从牛顿定律推导出玻尔兹曼方程后还是无法解释时间箭头的涌现。他的数学并没有在哪一步上明显地丢失时间反演对称性，只得怀疑是那个“玻尔兹曼-格拉德极限”在作祟。时间箭头的涌现与硬球数目的增加息息相关。现实世界的“硬球”——粒子——数目以千万亿亿计，5在数学推导里是一个趋向无穷大的极限。格拉德指出有限体积内的硬球数目趋近无穷大时，每个球的横截面积必须相应地趋近无穷小才能保证互相碰撞的机会恒定，维持同样的物理过程。兰福德和后来邓煜的推导都在这个“玻尔兹曼-格拉德极限”下进行。但在硬球截面积以与总数目增加同样的速度减小时，其体积和重量会以更快的速度趋近无穷小。这导致硬球密度急剧归零，失去物理意义。
好在兰福德很快认识到“玻尔兹曼-格拉德极限”与时间箭头的涌现无关。另一个前提条件的可疑程度更高。
麦克斯韦的统计分析假设气体里的硬球各行其是，在碰撞瞬间以外互不干涉。这个状态后来被称作“分子混沌”（Stoßzahlansatz）。玻尔兹曼也依样画葫芦，认定两个硬球的碰撞只是它们位置和速度正好指向下一时刻同一地点的随机事件。它们在碰撞之前的位置和速度没有统计关联。这是一个相当合理的假设，只是硬球碰撞后必然向相反方向飞离，在与其它硬球或容器壁发生碰撞改变方向之前不可能再度相遇。或者说，刚刚碰撞后的两个粒子位置和速度存在统计相关性，不那么“混沌”。
兰福德也采用了“分子混沌”假设。从微观尺度到介观尺度，硬球经历的碰撞远远不止一次。而每次碰撞产生新的关联，整个系统越来越偏离“混沌”前提。他的推导因此只适用于大约五分之一硬球发生过一次碰撞的极短时间。即便如此，兰福德也已推导出有时间箭头的玻尔兹曼方程。
希尔伯特第六问题的研究在兰福德后止步不前，直到五十年后的今天。邓煜、哈尼和马骁用新颖的数学手法证明两个硬球碰撞后的状态偏离“分子混沌”的误差非常小，并且不会在后面的逐次碰撞中累积。兰福德短暂时间的推导于是可以一步步叠加推进，缓慢地达到任意长时间范围。
玻尔兹曼在几乎整整一个半世纪前也已疑心分子混沌假设是时间箭头的始作俑者。那时候没有“涌现”的说法。物质由微小原子、分子组成的理念也还没有得到广泛接受，以之为基础的统计分析宛若空中楼阁。玻尔兹曼为此备受攻击，尤其是与他同校的好友洛施密特（Josef Loschmidt）紧紧抓住玻尔兹曼方程里的无中生有的不可逆性，谓之与时间反演对称的牛顿定律不可调和。不可逆性却也与日常的客观现实相符，并非虚幻。这一矛盾遂被名曰“洛施密特佯缪”（Loschmidt’s paradox），正是希尔伯特期盼解决的核心难题。玻尔兹曼后来陷入苦恼郁闷，在多重压力下自杀。6他生前为自己方程里出现的不可逆性寻找过很多理由，其中之一便是硬球碰撞时有时间的前后之分：碰撞之前是无关联的混沌，之后却统计相关。这中间隐现着时间箭头的魅影。
兰福德后来也认可分子混沌假设在碰撞前的应用是时间箭头更可能的来历。马骁在《知乎》网站讲解他们的工作时曾刻意提及硬球碰撞前后的不对称：
不过，兰福德和邓煜等人的推导也证明硬球在碰撞后恢复“分子混沌”状态，没有因持续的碰撞越来越统计相关。硬球很快“忘”了它们刚刚碰撞过，继续运动时重归“自由自在”，不带有以往的“记忆”。这个推断倒与香农（Claude Shannon）在二十世纪中期发展的“信息论”（information theory）暗合：信息是一种“负熵”，与热力学的熵正好相反。硬球在碰撞后失去信息，意味着它们的熵在增加。马骁在同一篇知乎文章里亦如是而言：
可是时间箭头固然在兰福德和邓煜等人的推导中出现，其指向却无法确定。熵增加和熵减少都是他们的逻辑推论，只能人为地选取其一。
这倒也不奇怪。
玻尔兹曼当年为自己辩护时提供过另一解释：热力学和玻尔兹曼方程里的熵增加只是一时的表象。天长日久，持续碰撞中的硬球能够演化到各个可能状态，包括所有硬球挤进同一个角落的“不太可能”场景。这个“各态历经”（ergodicity）思想后来以法国学者庞加莱（Henri Poincare）命名为“庞加莱回归定理”（Poincare recurrence theorem）：一个孤立的有限系统在演化中早晚会回归其初始状态。
各态历经的设想说明玻尔兹曼方程并不全面，“回归”还需要与之背道而驰、熵减少的“反玻尔兹曼方程”（anti-Boltzmann equation）。那正是兰福德和邓煜等人推导之所得。牛顿定律的时间反演对称性在介观和宏观视角并未被打破，只是分离成时间箭头指向“前”和“后”的两个对称分支。
人们在现实生活中只经历熵增加的那个分支。玻尔兹曼和庞加莱解释那是因为系统演化倾向于可能性大的状态。全部硬球挤在一个角落的确是“不太可能”的状态，需要等待漫长的时间才有希望重现。而回归所需的时间随硬球数目指数增长，很快会远远大于宇宙的年龄。凡人不可能“活久见”，大概只有超越时空的拉普拉斯妖精在嘲笑人类的少见多怪。
这是一个“说说而已”的解释，显然无法进入希尔伯特等数学家的法眼。幸好当代的物理学家对时间箭头指向也已另有诠释。
我们在录像里看到一块巨石从山上滚下时不足为奇。要是反过来看到巨石从地面滚上山峰则会诧异，当即领悟录像是在倒放着。这也是一个“不可逆”的自然现象，却与玻尔兹曼的统计无关：巨石的运动遵循“微观”的牛顿定律。
这个录像违背的其实不是时间反演对称性，而是与之如出一辙的空间反演对称性。牛顿定律本身没有上下左右之分，麦克斯韦的硬球在容器里随意向任何方向作惯性运动。但那只是忽略地球引力的理想情形。由于重力的存在，地球表面有上下之别：巨石只会向下滚动，不可能自行向上爬。我们对此司空见惯处之泰然，不经意身边空间上下反演的“对称破缺”。7
我们同样地也难以意识到自己生活在一个时间反演对称性早已破缺的世界里。大约140亿年前，宇宙在一次“大爆炸”（Big Bang）中横空出世。王虹的“师爷”阿兰·古斯曾为原初的宇宙提供定量物理描述。那是一个高度有序、熵极小的世界，正如挤在一个角落里的无数硬球。自那一刻开始，宇宙暴胀、膨胀，一往直前地走向无序，与硬球在碰撞中分散异曲同工。
这是宇宙的时间箭头，与热力学的时间箭头同样地指向熵增加的方向。十九世纪的玻尔兹曼无缘认识宇宙和时间有一个起点，与地球表面的空间类似地不存在时间反演的对称。今天的物理学界普遍认为正是宇宙时间箭头决定着热力学时间箭头的指向。倘若我们生活在一个时间与之颠倒的世界，宇宙向着熵减小的反方向萎缩，最终“回归”大爆炸前的“大挤压”（Big Crunch），从玻尔兹曼、兰福德到邓煜和他的合作者们也都会振振有辞地选取反玻尔兹曼方程作为他们的推导成果。
及至今日，热力学时间箭头在他们的数学推导里究竟是自行“涌现”，还是源自推导以外对硬球碰撞有前后之分的人为预设前提尚不清晰。也许将来会有那么一天，数学家能够避免玻尔兹曼-格拉德极限和其它林林总总假设和前提，完美地解决希尔伯特第六问题，实现物理学的“公理化”（axiomatization）。也许他们可以真正地看到时间箭头在从牛顿定律到玻尔兹曼方程的过渡中鲜明地涌现。但他们多半还是不可能推导出时间箭头的指向。它来自我们生活着的宇宙，一个起始于“不太可能”状态的客观实在，不以人类的数学方程或意志为转移。
这也是物理学与数学的不同之处。
主要参考资料：
Uffink, J., Valente, G. Lanford’s Theorem and the Emergence of Irreversibility. Found Phys 45, 404–438 (2015)
Lebowitz, J. L. Boltzmann’s Entropy and Time’s Arrow. Phys Today 46, 32-38 （1993; Phys Today 47, 11-15,115-117 (1994)
以博戈柳博夫（Nikolay Bogolyubov）、玻恩（Max Born）、格林（Herbert Green）、柯克伍德（John Gamble Kirkwood）和伊冯（Jacques Yvon）命名的“BBGKY层次结构”（BBGKY hierarchy）
严格来说，玻尔兹曼的量随时间减少，与克劳修斯的熵符号相反。
即“阿伏伽德罗常数”（Avogadro constant）6.022 x 1023的量级
参阅《科学随笔：对称性自发破缺与希格斯粒子》。