量子纠缠背后的故事(十九)

玻恩的几率波

海森堡非常地郁闷。

1926年应该是属于他的年份。他发现矩阵力学的第一篇论文在1925年9月问世。1926年2月,他与玻恩、约旦合作的“三人论文”发表,为以矩阵形式出现的量子力学拉开了序幕。一时间,世界各地的物理学家都一头钻进数学图书馆,急切地寻找任何可能与矩阵——从未听说过的怪物——有关的资料,祈望不要输在这条新的起跑线上。

师兄泡利不仅最早见到从海岛上归来的海森堡,也是他第一篇论文的第一个读者。在多年用量子数拼凑原子光谱而凄苦忧伤、恨不得去当小丑演员后,泡利为量子领域终于有了数学的秩序欢欣鼓舞,感到生活又有了希望。但他还是很矛盾,唯恐这个新理论被玻恩用繁琐的数学糟蹋。海森堡看他患得患失,出言奚落,要他也拿出点自己的东西。泡利受刺激后埋头苦干了一个月,用师弟的矩阵力学完整地计算出氢原子的光谱。

在那之前,海森堡的矩阵还只是一个针对假想谐振子的简单模型。泡利的计算将其提升为解决现实问题的理论,验证了它的实用性和潜力。他在1925年11月完成这一壮举,论文在1926年3月发表。

仅仅十天后,薛定谔的论文横空出世,颠覆了海森堡的世界。


“嘿,你刚开始的时候知道会做出这么多有意思的东西吗?”14岁的依西(Itha Junger)天真地问薛定谔。她和双胞胎姐姐因为代数不及格一起被留级。安妮提议让薛定谔为她们辅导。依西自然地成为薛定谔的情色猎物,同时数学上也大有长进。

薛定谔圣诞节假期中发现他的方程之后,在1926年间创造力大爆发,六个月接连发表六篇论文,独立奠定了他称之为“波动力学”的新量子力学。他不无得意地向依西炫耀这辉煌的战果,并把小姑娘的问话录入这些论文结集出版的前言中。

两个世纪以前,牛顿为了能够准确地表述动力学发明了一个新的数学语言:微积分。物理学从那时开始正式成为系统、定量的科学。无论是牛顿力学还是麦克斯韦方程组,或者海森堡博士论文所研究的湍流,理论物理学家的职业生涯与微分方程难解难分。相应的数学工具也随之日新月异。

在雪山旅馆里,薛定谔只带了20年前出版的一本微分方程教科书。在终于构造出符合德布罗意关系的波动方程之后,他一时也没能求解出氢原子问题,要等到下山后在外尔的帮助下才成功。

随后,他们发现数学家希尔伯特等人已经对这类微分方程做了系统研究,刚刚出版了一本新教材。如果薛定谔当时有那新版本,氢原子问题在山上就可以迎刃而解。尽管如此,他和外尔也不过只花了两三天时间便自己找出了答案。毕竟,微分方程已经成为他们的“母语”。

在1926年3月问世的第一篇论文里,薛定谔以极其简短的笔调推出他的波动方程。与他为自己浪漫生活记录详尽的日记相反,他的科研笔记散乱无章,只有少量存世。如果忽略他所走过的弯路而以事后诸葛亮的眼光分析,他的发现过程相当简单:传统的经典波动方程是一个二次微分方程。按照德布罗意关系将其中的频率参数换成动能,然后再把动能拆解为总能量与势能之差,就可以得到薛定谔方程的数学形式。

与经典的波动一样,这样的微分方程和它的解都是连续的,没有分立的“量子”、“跃迁”概念。但薛定谔毫无困难地找出了两者的对应关系。

经典波动方程在特定的边界条件下会出现琴弦上驻波那样的解。希尔伯特把它们叫做“本征态”(eigenstate)。它们由一定的“本征值”(eigenvalue)标记。薛定谔方程也一样。它的本征态正是德布罗意所猜想的驻波,但更为丰富,是三维空间中的分布。这些本征态分布正好集中在玻尔轨道的附近,有着同样的能级。它们也自然地有着三个不同的本征值,正是那已经熟悉的量子数。

在经典的波动中,如果两个频率相近的波相遇,它们之间的干涉作用会产生一个新的频率:“拍频”(beat)。这个频率是那两个频率之差,正好满足了玻尔轨道“跃迁”的能量关系。但它们不像“跃迁”那样具备无法理解的瞬时、断裂,而是与经典物理无异的自然、连续过程。

这样,薛定谔的新方程同时为玻尔的轨道和德布罗意的驻波提供了坚实的数学基础。但他既不需要玻尔那些无中生有的规则,也不用像海森堡那样人为地构造不连续的表格。量子的不连续性以本征态、本征值的方式在连续的方程中自然涌现,无需任何先验的注入。


为了用可观测的光谱参数表述原子模型,海森堡在不知情中重新发明了矩阵代数。这对物理学家是一门新的语言,如同拗口、难懂的外语。几个月下来,只有泡利有能力用矩阵求解出最基本、最简单的氢原子,其他人都未能有所建树。

泡利对薛定谔论文的第一反应非常负面。如同他把玻尔认可自旋称为“哥本哈根邪说”,他把薛定谔方程叫做“苏黎士的迷信”。但同时他也不由倒吸一口冷气:他自己使足浑身解数,花一个月时间才求解了氢原子。如果采用薛定谔的方法,那不过是轻松的举手之劳。

当然最神奇的是两个方法所得出的结果完全一致。

他们的导师索末菲、玻恩立场也在动摇。索末菲最初看到薛定谔的论文时直觉那完全是一派胡言,但很快改口说矩阵力学虽然是真理在手,却过于复杂并且抽象得可怕。薛定谔的到来是一个救星:波动提供了数学的便利和直观的图像。

刚刚发现电子自旋的乌伦贝克直接地表达了他们下一代的心声:“薛定谔方程来得正是时候。我们不再需要学习那莫名其妙的矩阵数学了。”

海森堡看到他预期的灿烂尚未开放就已经被薛定谔突如其来的乌云遮掩。随着泡利、索末菲、玻恩相继“倒戈”,他有着一种众叛亲离的悲凉。


当然,海森堡的名望也在急剧地上升。那年4月他得到邀请去柏林讲学。虽然新生的量子力学集中于索末菲的慕尼黑、玻恩的哥廷根和玻尔的哥本哈根所构成的“金三角”,海森堡觉得真正的物理中心还是在柏林。当他走上那里的讲台,看到第一排依次就座的爱因斯坦、普朗克、能斯特、劳厄——四位诺贝尔奖获得者——他真切地体验到自己正在迈进精英的行列。

他的演讲十分顺利。爱因斯坦随后热情地邀请他回家晚餐。他们一起走过柏林的大街时,爱因斯坦友善地询问海森堡的生活、学业及工作,气氛相当融洽。

等他们在爱因斯坦的公寓中坐定之后,爱因斯坦才突然发问:“你真的觉得电子的轨道不存在?”

海森堡早就在等待这一时刻。他胸有成竹地解释,“是的,你没法实际地观测电子的轨道运动……”爱因斯坦当然清楚他的来路,更直截了当地问道,“难道物理学中只能存在可以观测的物理量吗?”海森堡这下子倒真觉得诧异。他不解地反问,“难道那不就是你创立相对论时的基本思想吗?”

爱因斯坦狡黠地一笑,答曰,“也许是吧。但同一个笑话是不能重复讲两遍的。”

海森堡满心以为爱因斯坦会赞许他同样基于逻辑实证的矩阵力学。他不知道爱因斯坦半年前从玻恩那里获悉这个新发现时就一直持怀疑态度。他在给埃伦菲斯特的信中表示:“海森堡下了一个量子大鸭蛋。哥廷根那些人相信这个东西,我却不信。”

几个星期后,柏林的物理师生济济一堂,又一次听取了关于矩阵、波动最新进展的报告。主持讨论会的爱因斯坦有点烦,他最后总结:“我们一直都没有精确的量子力学。现在突然之间有了两个。你们都会同意这两个理论互不相容。哪个会是对的?也许没一个是正确的。”

不料,他话音刚落,席中的戈登(Walter Gordon)站起来报告:他刚从苏黎士回来,听说泡利已经证明了这两个理论其实是同一个。


访问柏林时,海森堡正面临一个选择。

他本来已经准备好再度去丹麦,担任玻尔的助手并同时在哥本哈根大学兼任讲师。莱比锡大学却突然给他发来教授聘书。年仅25岁就能够担任正教授在德国属于闻所未闻,是一个极其难得的机会。海森堡有点难以取舍,便询问爱因斯坦的意见。

曾经为敲开学术界大门历尽坎坷的爱因斯坦不假思索地回答:去跟玻尔干吧,你不会后悔的。他深信海森堡是一颗正冉冉升起的新星,以后不会缺乏莱比锡那样的机会。海森堡听从了爱因斯坦的建议。

薛定谔也在忙于四处讲学。7月,他来到慕尼黑。德国物理学会的地方分会恰好也在那里聚会。已经在哥本哈根任职的海森堡特意赶回来参加。薛定谔的讲演吸引了满屋子的听众。结束时,后排的海森堡又忍不住提问:你这个波动理论如何能解释光电效应、康普顿散射?

这时的海森堡已经有了博士学位,不再是四年前当众质问玻尔的那个大学生。但他毕竟还只是助手、讲师,比苏黎士大学正教授差了几个级别。依然对海森堡看不惯的维恩教授忍无可忍,站出来痛斥海森堡没有礼貌。

维恩也是薛定谔的老朋友。薛定谔还在滑雪营地中琢磨他的方程时就一直与维恩通信报告进展。这时维恩信心十足也越俎代庖地向全场听众宣布,毋庸置疑,薛定谔教授肯定很快会找出办法来的。他转头又忠告海森堡:年轻人,你要明白我们现在再也不需要那莫名其妙的量子跃迁了。

在老权威面前,海森堡无计可施。在场的索末菲也没有出手辩护,让海森堡颇为失落。他只好给玻尔写信告了一状。玻尔阅后,即刻发信邀请薛定谔到哥本哈根一叙。


对海森堡来说,薛定谔是一大威胁。这并不是因为后者抢了他的风头:波动方程在数学计算上远远比他的矩阵简洁实用。海森堡最忌讳的还是薛定谔物理观念上的反动。

正如爱因斯坦所担忧,这两个几乎同时冒出来的新量子力学彼此水火不相容。它们重新点燃了物理学家在粒子与波之间持久的争执。海森堡的诘问打中了要害:薛定谔的确没法解释光电效应和康普顿散射,因为那是很明确的粒子行为。在爱因斯坦以光是粒子成功解释光电效应的四分之一世纪之后,薛定谔的电子是波却又在重蹈过去的覆辙。

海森堡的矩阵描述的是粒子的运动,出发点是分立、量子化的能级;薛定谔的方程却只有连续的波,作为本征值的能级之出现只是数学上的巧合。海森堡坚持可观测量,薛定谔却反其道而行之,跟着德布罗意采用了一个看不见摸不着、甚至无法解释的波。

在海森堡看来,这一切完全没有物理意义。薛定谔则反唇相讥,指出矩阵繁复隐晦,不具备波动方程简单明了的直观物理图像。

不过,这新一轮的粒子与波争议与以往不同。双方不再停留在思辩层面,各自都有了精确、完备的数学工具。这为他们貌似势不两立的分歧提供了一个切实的可比性。

连爱因斯坦都没有料到,这个原则性的立场之争只延续了区区几个星期。泡利率先声称他从数学上证明了矩阵和波动力学其实完全等价,不分彼此。与他许多发现一样,泡利只是在口头、书信中与朋友做了交流,懒得写论文正式发表。还是薛定谔几乎同时做出了自己的证明,发表于他那年第三篇论文:《关于海森堡-玻恩-约旦与我自己的量子力学之间的关系》,论证了二者的严格等价。

粒子乎?波乎?它们竟然在两个鸡同鸭讲的数学语言中殊途同归。


1925年12月,玻恩在完成他与海森堡、约旦合作的三人论文后启程去美国进行为期五个月的讲学访问。在那期间,他集中精力用矩阵力学计算两个粒子的碰撞过程。虽然有着雄厚的数学功底,他也没能取得进展。回到德国后,他看到薛定谔的论文极为震惊,立即确认那是更为优越的数学工具。但从粒子碰撞的实例中,他意识到那波的概念亟需澄清:到底是什么在波动?

物理学家早已熟悉了两种不同的波。一是日常所见的水波、声波。它们是所处媒介的脉动:水或空气分子小尺度协调一致的振荡在大尺度上形成波动。波动的幅度便是分子振动的强度。另一种是电磁波。在以太被爱因斯坦的狭义相对论摒弃之后,电磁波没有媒介,是电磁场自身的振荡。电磁波的幅度是相应电磁场的强度。

德布罗意没有明确说明过他那伴随着粒子的波是什么。相应地,薛定谔干脆把他方程中描述振幅的变量直接称作“波函数”(wave function)——不管是什么波。

但薛定谔自己并无怀疑。他认定这个波是实实在在的,为电子或其它任何有质量的粒子提供了一个直观图像:它们不是只处于空间一个地点的粒子,其质量、电荷都同时弥漫于一个范围。波函数描述了它们的空间分布。

为了回应海森堡的质问,薛定谔试图把波函数的分布限制得非常狭窄,可以近似于粒子。这样的波在经典理论中也有例证,即“波包”(wave packet)或“孤立子”(soliton)。无奈,他的量子方程与经典波动方程一样,让这类局域性的波不稳定,随时间会很快耗散变为宽广的分布。显然,电子并没有表现出这样的行为。

玻恩对粒子的孤立特性深信不疑。在哥廷根他办公室的隔壁,因为探测到水银原子能量不连续而刚刚获得诺贝尔奖的弗兰克每天都在实验室里忙活。他的盖革计数器在不断地鸣叫,每个声响都意味着一颗粒子的抵达。他不是在计量什么波函数的分布。

通过对粒子碰撞的演算,玻恩清楚地看到薛定谔的物质波无法自圆其说。当一个粒子遭遇障碍时,它对应的波会像池子里的水波遇到石头一样在石头周围蔓延开来。能够被盖革计数器一个个计数的粒子不可能这样地“散开”。玻恩因此确信必须彻底扬弃薛定谔引以为傲的物理图像,只保留他那有效的数学形式。

在与爱因斯坦的频繁通信中,玻恩早就熟悉他这个老朋友曾提出的“鬼场”概念。为了给光子赋予波动性质,爱因斯坦曾设想作为粒子的光子是在一个鬼场的导引下运动,它在空间某个地点出现的几率取决于鬼场在该点的强度。

玻恩意识到薛定谔的波其实就是爱因斯坦的鬼场。它不是薛定谔所认为的物质、电荷在空间的分布,而只是标记粒子在某个地点出现的几率。这个几率随时间、地点的变化便是薛定谔方程所揭示的量子力学规律。

粒子相撞时,它们相应的波函数会同时向四面八方扩散。那不是粒子本身的发散,而只是这个粒子有着向各个方向飞离的可能性。玻恩于是指出,在量子力学里,我们不再能确切知道一个粒子碰撞后会往哪个方向飞,而只能计算它飞向某个方向的概率。

当粒子以一定几率“出现”在某个地点时,它依然会是一个完整的粒子,可以被盖革计数器捕捉、记录。它也会像经典的粒子一样再度碰撞,因此会出现海森堡所忧虑的光电效应和康普顿散射。

这样,在量子世界里,粒子的运动不再有确定的行为、结果。它们都取决于概率。

1926年年底,玻恩发表了他这个基于几率的波函数诠释,为量子力学天翻地覆的那一年划上句号。他特别指出这个想法源自爱因斯坦。

爱因斯坦却没有领情。他给玻恩写信曰:“量子力学的确洋洋大观。但我内心里有个声音在告诉我这还不是一个确实的答案。这个理论说了很多,却还没有让我们更接近那个‘老家伙【意指上帝】’的秘密。无论如何,我确信‘祂’不会掷骰子。”

(待续)

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